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目录 1

第1章　复数与复变函数 1

1.1　复数及其运算 1

1.1.1 复数的概念及其表示法 1

1.1.2　复数的代数运算 4

1.1.3　扩充复平面与复球面 9

习题1.1 10

1.2.1　复平面上的曲线方程 12

1.2　复平面上的曲线和区域 12

1.2.2　简单曲线与光滑曲线 16

1.2.3　复平面上的点集与区域 16

习题1.2 18

1.3　复变函数 20

1.3.1　复变函数的概念 20

1.3.2　复映射 21

习题1.3 24

1.4.1　复变函数的极限 25

1.4　复变函数的极限和连续性 25

1.4.2　复变函数的连续性 27

习题1.4 29

小结 30

第1章复习题 31

第2章　解析函数 33

2.1　复变函数的导数 33

2.1.1　导数的概念 33

2.1.2　可导的充要条件 37

习题2.1 40

2.2　函数的解析性 41

2.2.1　解析函数的概念 41

2.2.2　解析函数的充要条件 43

习题2.2 45

2.3　初等函数 47

2.3.1 指数函数 47

2.3.2　对数函数 48

2.3.3　幂函数 50

2.3.4 三角函数和双曲函数 51

2.3.5　反三角函数与反双曲函数 54

习题2.3 56

小结 57

第2章复习题 59

第3章　复变函数的积分 62

3.1　复变函数积分的概念 62

3.1.1　复积分的定义 62

3.1.2　复积分存在的条件及计算公式 64

3.1.3　复积分的基本性质 66

习题3.1 68

3.2　柯西积分定理 69

3.2.1　柯西积分定理 70

3.2.2　柯西—古萨基本定理 71

3.2.3　复合闭路定理 73

习题3.2 76

3.3　原函数与不定积分 77

习题3.3 80

3.4　柯西积分公式和高阶导数公式 81

3.4.1　柯西积分公式 81

3.4.2　高阶导数公式 84

3.4.3　柯西不等式 88

习题3.4 89

3.5　解析函数与调和函数的关系 91

习题3.5 96

小结 97

第3章复习题 99

第4章　复级数 103

4.1　复数项级数 103

4.1.1　复数列的收敛性及其判别法 103

4.1.2　复数项级数的收敛性及其判别法 104

习题4.1 106

4.2.1　幂级数的概念 107

4.2　幂级数 107

4.2.2　收敛圆和收敛半径 109

4.2.3　收敛半径的求法 110

4.2.4　幂级数的运算性质 113

习题4.2 115

4.3　泰勒级数 116

4.3.1　泰勒级数展开定理 116

4.3.2　初等函数的泰勒级数展开式 119

习题4.3 123

4.4　洛朗级数 126

4.4.1　洛朗级数展开定理 126

4.4.2　用洛朗级数展开式计算积分 131

习题4.4 133

小结 135

第4章复习题 137

5.1　孤立奇点 140

5.1.1　孤立奇点的定义 140

第5章 留数及其应用 140

5.1.2　孤立奇点的分类 141

5.1.3　用函数的零点判别极点的类型 143

5.1.4　函数在无穷远点的性态 146

习题5.1 147

5.2　留数和留数定理 149

5.2.1 留数的定义和计算 149

5.2.2　留数定理 153

5.2.3　洛必达法则 156

5.2.4　函数在无穷远点的留数 158

习题5.2 160

5.3 留数在定积分计算中的应用 162

5.3.1　形如？（cos？,sin？）bθ的积分 162

5.3.2　形如？f（x）dx的积分 165

5.3.3 形如？f（x）eiβxdx（β＞0）的积分 167

习题5.3 171

5.4＊ 辐角原理及其应用 172

5.4.1　对数留数 173

5.4.2　辐角原理 175

5.4.3　路西定理 176

习题5.4 178

小结 179

第5章复习题 183

第6章　保角映射 186

6.1　保角映射的概念 186

6.1.1 曲线的切线方向和两条曲线的夹角 186

6.1.2　解析函数导数的几何意义 188

6.1.3　保角映射的概念 191

习题6.1 193

6.2　分式线性映射 194

6.2.1　保角性 194

6.2.2　保圆性 196

6.2.3　保交比性 197

6.2.4　保对称性 199

6.2.5　保侧性 200

6.2.6　三种特殊的分式线性映射 203

习题6.2 210

6.3　几个初等函数所构成的映射 211

6.3.1　幂函数与根式函数 211

6.3.2　指数函数与对数函数 214

6.3.3　儒可夫斯基函数 217

习题6.3 221

6.4＊ 保角映射的几个一般性定理及其应用 222

6.4.1　保角映射的几个一般性定理 222

6.4.2　施瓦茨—克里斯托费尔映射 224

6.4.3　拉普拉斯方程的边值问题 229

习题6.4 232

小结 233

第6章复习题 234

复习题参考答案 237

主要参考文献 245