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目 录 1

第一章数学概论 1

（一）关于数学的几个问题 1

数学的对象 1

数学的特点 3

数学的抽象 7

数学中的概括 12

数学方法 13

公理法 16

数学模型 19

数学基础问题 20

自然数的特点 4 25

数学分类 26

数学的发展方式 30

数学猜想 33

数学发展的统一趋势 34

新技术革命和数学 37

（二）中学数学中的若干辩证思想 39

初等数学运算中的辩证 39

关系 39

一与多 43

连续与离散 44

有限和无限 46

数和形 49

量的辨析 51

常量和变量 53

零 55

（三）数字和数学符号历史简介 57

古埃及数字 57

巴比伦数字 58

古希腊数字和罗马数字 59

玛雅数字 61

中国数字 62

印度—阿拉伯数字 64

分数和小数 66

加号和减号 68

乘号 69

除号 70

等号 70

指数符号 71

方根符号 72

未知数和方程的符号 73

负数记号 77

不等号 77

符号π和e 78

对数符号 78

虚数记号 79

函数符号 79

三角函数符号 80

几何学符号 81

微积分符号 81

表示运算顺序的符号— 83

括号 83

算术简史 85

第二章 初等数论简介 85

数论 91

整除性 94

素数 97

素数的个数 98

梅森素数 100

完全数 100

亲和数 103

哥德巴赫猜想 104

素数分布问题 107

斐波那契数 109

费马猜想 112

孙子定理 114

大衍求一术 117

勾股数 120

第三章几何学 122

几何学简史 122

（一）几何学基础初步知识 129

欧几里得《几何原本》 129

《几何原本》的缺陷 132

希尔伯特《几何学基 133

础》 133

希尔伯特公理系统 133

第五公设的等价命题 137

非欧几里得几何学的 138

发现 138

罗巴契夫斯基公理及其 139

推论 139

罗巴契夫斯基函数 140

黎曼公理及其推论 140

（二）初等几何变换 141

变换群 141

平面上的平行移动 141

绕点O的平面旋转 142

平面运动群 142

空间的平行移动 143

绕轴l的空间旋转 143

空间运动群 144

正交变换群 144

平面上的对称 145

空间内的对称 146

相似变换 147

位似变换 148

在初等变换下的不变性和 149

不变量 149

反演变换 150

不变性 151

在反演变换下逆点的 151

作图 151

在反演变换下的不变量和 151

（三）几何证题法概要 152

直接证题法 152

间接证题法 153

证题时的分析方法 155

怎样引辅助线 156

证线段相等问题 158

证线段不等问题 159

证角相等和不等问题 160

证定量问题 161

证三点共线问题 162

证三线共点问题 164

证四点共圆问题 166

证三角形心类问题 168

证切线切圆问题 168

证有关比例问题 171

证面积问题 172

证最大最小问题 174

一题多证五例 175

极限法证题五例 186

错证题六例 191

（四）轨迹题 196

轨迹定义 196

轨迹题的证明 197

求轨迹题和证明 197

轨迹题 197

探求轨迹的预想 197

关于轨迹题的讨论 197

基本轨迹 202

根轴和根心 204

用直尺和圆规作图 205

（五）几何作图题 205

五个基本作图题 206

解作图题的步骤 206

几种常见的作图法 207

尺规作图可能条件 215

单用直尺作图例题 216

单用圆规作图例题 220

单用双边直尺作图 222

例题 222

几个常用几何作图 225

例题 225

（六）简单图形度量计算公式 227

平面图形 227

关系 231

正多边形各元素间的 231

正多边形各量换算 232

公式表 232

正多边形外接圆半径 232

与各量间关系表 232

（七）立体几何的理论与计算 234

平面概念及其性质 234

空间图形的作图 235

多面体的截面 236

异面直线概念 239

计算 240

异面直线的两种量度 240

异面直线所成的角的 240

计算 242

异面直线间距离的作图与 242

空间二直线的平行及其 248

判定 248

直线与平面的平行及其 249

判定 249

判定 250

判定 250

空间二直线的垂直及其 250

两平面的平行及其 250

直线与平面的垂直及其 251

判定 251

两平面的垂直及其 252

判定 252

二面角概念及其计算 254

公式 254

多面角 258

公式 260

球面距离概念及其计算 260

四面体的余弦定理 263

四面体的体积公式 264

柱、锥、台、球体积的 269

统一公式 269

公式 274

楔形体与截头方锥体体积 274

球扇形与圆环体体积 274

公式 274

斜截圆柱体与圆柱 275

截段 275

桶形体 276

正多面体 276

我国古代遗留下来的直 277

观图 277

（八）直观圈的原理及其绘制 277

直观图概念与分类 283

投影的概念与分类 284

投影法在数学中的应用 286

平行投影的特性 289

轴测图的形成、轴向变形 290

系数 290

轴测图 293

轴测图的分类、三种常见的 293

轴测投影的基本定理 294

选择 297

数学教学中轴测图的 297

结合解题探索最佳画法 299

平面图形直观图的 300

简便画法 300

直观图的简便画法 303

直观草图 304

简化公式 307

直观图的完整性 308

直观性的一种方法 310

添加阴影线一增加图形 310

计算机绘图简介 313

（九）若干著名定理和问题 314

门纳劳斯定理 314

切瓦定理 315

德扎格定理 315

西姆森定理 315

布里昂雄定理 316

九点圆定理 316

帕波斯定理 316

帕斯卡定理 316

勾股定理 316

托勒密定理 316

欧拉公式 317

斯图尔特定理 317

费尔巴哈定理 317

希波克拉底月牙形 317

海伦公式 317

定理 317

欧拉线 318

牛顿线 318

正等角中心和托里切 318

利点 318

费马问题和费马点 319

卡尔角 319

布罗卡尔圆和类似 319

重心 319

布罗卡尔点和布罗 319

黄金分割 320

四色问题和五色问题 320

施瓦兹三角形问题 320

施泰纳短路问题 321

圆周17等分作图 322

七桥问题 322

等分圆周问题 322

三大几何作图问题 322

单岸曲面 324

施泰纳直尺作图问题 324

问题 325

马斯凯罗尼圆规作图 325

圆周率π的值 327

第四章三角学 328

三角学简史 328

任意角 333

角的度量 334

三角函数 337

三角函数的周期 341

三角函数的图象 342

同角三角函数关系式 345

三角函数的互相表示 346

和（差）角公式 347

倍半角公式 348

和积互化公式 352

函数式 354

万能公式 354

三角形三内角的三角 354

三角法解代数题 357

三角法解几何题 358

用方法 362

三角式恒等变形的常 362

证明三角恒等式的基本 366

方法 366

三角级数求和公式 368

三角形各元素间关系 370

反三角函数 373

反三角函数的图象 375

反三角函数的性质 376

反三角函数的基本运算 378

运算 379

反三角函数和差倍的 379

反三角函数关系式 380

三角方程 383

简单三角方程的解法 383

三角方程不同解法所 387

得解集的相等 387

最简三角不等式 389

关于三角形内角的三角 391

不等式 391

锐角三角函数不等式 391

三角函数的极值 394

直角三角形解法 395

斜三角形解法 396

三角函数造表法 399

第五章代数学 400

代数学简史 400

（一）集合知识简介 409

集合论简史 409

集合的概念 411

集合的表示法 412

数集的特殊表示 413

集与集的关系·子集 413

空集 414

全集 415

有序对·笛卡儿积集 415

关系 416

有序集 416

并集 417

交集 418

差集·余集 418

补集 419

集的运算律 419

映射 421

一一映射·逆映射 422

（二）数系 423

数系扩张 423

自然数的基数定义 425

自然数的皮亚诺公理 425

结构 425

数学归纳法 426

归纳定义 430

正负数的运算 431

负数的引进 431

有理数及其性质 432

无理数的引进 434

初等数学中的无理数 435

举例 435

证明无理数的初等 435

方法举例 435

实数及其性质 436

实数的公理系统 438

实数的近似计算 440

虚数的引进 444

复数的定义 446

共轭复数 447

复数的绝对值 447

复数的表示形式 449

复数加减法 449

复数乘除法 451

复数乘方与开方 453

复数无大小 457

超复数·四元数 458

代数数与尺规几何作图 459

代数数举例 459

代数数与超越数的定义 459

超越数难题 460

（三）代数式 461

符号的使用与代数式 461

整式的有关概念 462

整式的整除性 463

余数定理与综合除法 463

因式分解的唯一性 465

定理 465

因式定理 466

可约性的判定方法 466

因式分解方法举例 468

二元二次多项式的因式 470

分解 470

行列式概念 472

行列式的性质 473

行列式的计算方法 474

恒等式 476

代数式的恒等变形 476

复合二次根式？？ 480

有理化因子的存在与 482

求法 482

待定系数法及其用法 489

用待定系数法进行部分 491

分式展开 491

用待定系数法求函数式 494

（四）方程论 495

方程论概述 495

方程及方程的解 496

解方程及其步骤 497

方程的同解理论 498

方程ax=b及其解的情形 500

一元二次方程的代数解法 502

一元二次方程的几何解法 504

一元二次方程根与系数 506

的关系及其应用 506

一元三次方程的代数解法 508

一元三次方程根的情形 510

一元三次方程的几何解法 516

一元四次方程的代数解法 517

一元四次方程的几何 518

解法 518

一元n次方程的基本定理 520

存在与求法 523

一元n次方程有理根的 523

特殊的一元高次方程 529

的解法 529

分式方程的一般解法及其 532

增根原因 532

利用合分比定理解分式 534

方程及其同解性 534

无理方程的一般解法及 536

其增根的原因 536

无理方程的换元解法 537

？f(x)+？g(x)=？R(x) 539

的解法及增根原因 539

无理方程 539

指数方程的初等解法 541

对数方程的初等解法 543

指数方程与对数方程的 545

图象解法 545

多元方程组的一般概 545

念和基本解法 545

线性方程组的概念及顺 548

序消元法 548

姆法则 554

解线性方程纽的克莱 554

二元整式方程组解的 556

情形 556

二元非线性方程组解 557

法举例 557

方程的近似解法 564

列方程解应用题 566

（五）不等式 570

不等式的基本性质 570

算术平均值与几何平均 571

值不等式 571

性质 571

绝对值不等式的主要 571

几个经典不等式 578

绝对不等式的常用证明 579

方法举例 579

数的大小的判定方法 591

条件不等式（组）的解 593

的有关概念 593

不等式（组）的同解 593

理论 593

解法 596

一元n次不等式的一般 596

一元二次不等式的解 596

分式不等式的解法 599

非有理不等式的解法 599

二元不等式（组）的 602

几何解法 602

函数概念的历史及 606

分类 606

（六）函数 608

函数与反函数的概念 608

初等函数定义域的 609

确定方法 609

方法 610

初等函数值域的确定 610

初等函数的表示法 614

函数图象的几何作法 615

单调函数·单调性 617

奇函数与偶函数·奇 618

偶性 618

指数概念及其扩张 620

幂函数 622

对数概念及其性质 623

指数函数与对数函数 625

解析几何学简史 627

第六章解析几何学 627

（一）几个基本问题 630

有向直线及有向线段 630

平面上两点间的距离 631

线段的定比分割 631

直线的倾角和斜率 632

（二）直线方程及有关问题 634

直线方程的几种形式 634

直线的一般方程 636

的位置关系 638

用方程系数判定二直线 638

直线的一般方程化为 641

法线式方程 641

点到直线的距离 642

直线划分平面及其应用 643

直线型经验公式 647

（三）曲线方程及有关问题 650

曲线与方程 650

圆的方程 651

圆的切线 652

椭圆的方程 653

离心率与准线 654

已知二轴作椭圆 655

已知椭圆，确定它的中 657

心、轴、焦点和准线 657

双曲线的方程 659

双曲线的渐近线 659

已知二轴作双曲线 660

已知双曲线，确定中心、轴、 661

焦点、渐近线和准线 661

抛物线的方程 662

抛物线的渐近方向 663

物线 664

已知焦点和准线作抛 664

已知抛物线作对称轴、 665

焦点和准线 665

圆锥曲线的统一定义 665

和方程 665

圆锥曲线是圆锥面的 667

平面截口 667

有关圆锥曲线四个例题 670

二次曲线的直径、中心 672

和轴 672

（四）二次曲线的一般理论 672

二次曲线的切线和法线 675

椭圆的切线性质和作图 677

双曲线的切线性质和 678

作图 678

抛物线的切线性质和 679

作图 679

坐标变换公式 680

二次方程的化简 682

缺项二次曲线的中心 685

和轴 685

二次曲线可分解的条件 687

原点平移和轴旋转时 688

二次方程的变换 688

有心曲线的变换和分类 690

无心曲线的分类 695

一般二元二次方程分类 695

总表 695

确定二次曲线的条件数 696

（五）极坐标系及极坐标方程 699

极坐标系 699

关系 700

极坐标与直角坐标的 700

直线的极坐标方程 701

圆的极坐标方程 702

圆锥曲线在极坐标中 702

的统一方程 702

（六）参数方程 705

参数方程的定义及形式 705

直线的参数方程 706

圆的参数方程 706

椭圆的参数方程 707

双曲线的参数方程 707

抛物线的参数方程 708

的互化 709

参数方程与一般方程 709

第七章数列、极限、微积分 712

微积分学简史 712

数列的概念 720

给定数列的方法 721

等差数列（算术数列） 722

等比数列（几何数列） 723

数列通项的求法 723

数列的极限 725

数列极限的定理 727

函数的极限 730

函数极限的定理 734

连续函数 735

连续函数的运算及局部 738

性质 738

间断点及其分类 739

区间上的连续函数的 740

特性 740

导数 741

微分 748

高阶微分 752

中值定理 753

最大和最小值 756

函数的单调性、极值、 756

函数的凸凹性和拐点、 759

渐近线 759

微分与不定积分的关系 761

反函数积分法 764

同一个被积函数的不定积分 767

可以有不同的表达式 767

微积分基本定理 769

定积分应用中的微元法 771

区别及联系 774

不定积分与定积分的 774

藉助积分和数直接计算 777

定积分 777

第八章排列、组合、概率、统计 782

排列、组合的历史简介 782

乘法原理 783

排列 783

选排列 783

有重复的排列 784

有相同元素的全排列 785

组合 786

多组组合 787

有重复的组合 788

二项式定理 789

二项式系数的性质 789

贾宪三角形 790

一般二项式定理 790

多项式定理 791

概率论发展史简介 792

随机现象 794

还原抽球 795

样本点、样本空间 795

随机试验 795

随机事件 796

事件间的关系与运算 797

概率论与集合论的术语 800

对照表 800

事件的概率 801

概率的古典定义 802

概率的几何定义 802

频率 804

概率的统计定义 805

概率的公理化定义 806

概率的性质 807

条件概率 808

概率的乘法定理 809

独立性 810

伯努利试验 812

小概率事件原理 813

随机变量 814

离散型随机变量 815

分布函数 815

离散型随机变量的概率 816

分布列 816

密度函数 817

连续型随机变量的概率 817

（0—1）分布 818

二项分布 818

泊松分布 819

泊松定理 820

正态分布 820

标准正态分布 821

正态分布的上（双）侧 822

百分位点 822

3δ法则 823

数学期望 823

方差 824

多维随机变量 827

大数定律 827

伯努利定理 828

中心极限定理 828

统计学发展史简介 829

总体 832

全面调查 832

抽样调查 833

系统抽样 834

简单随机抽样 834

分层抽样 835

频率分布 835

加权平均数 836

统计量 837

抽样分布 837

参数估计 838

点估计 839

区间估计 839

置信区间 839

假设检验 840

两类错误 841

参数性假设检验 841

非参数性假设检验 842

正态概率纸 842

皮尔逊x2检验法 844

第九章逻辑概要 845

逻辑与逻辑学 845

概念 845

概念的内涵与外延 846

概念间的关系 846

定义的意义和方法 849

定义的规则 851

划分的意义与规则 852

定义的可逆性 852

命题 854

分断式命题 855

逻辑符号 856

命题的或运算 857

命题的与运算 857

命题的非运算 858

命题的蕴涵运算 858

命题的等值运算 859

命题演算的算律 859

公式 861

命题演算中常用的等值 861

命题演算的基本法则 861

全称命题蕴涵特称命题 862

命题的四种形式 864

充要条件 864

恒真命题与恒假命题 867

形式逻辑基本规律 867

推理 868

类比推理（类比法） 868

归纳推理（归纳法） 869

演绎推理（演绎法） 872

分离法则 872

证明 876

证明的规则 877

第十章数的进位制、逻辑代数和电子计算机简介 881

（一）数的进位制 881

进位制 881

二进数及其运算 882

数制的转换 884

数制的应用题 889

（二）逻辑代数简介 891

逻辑代数简史 891

逻辑代数 893

开关代数 895

逻辑线路的分析 897

逻辑线路的设计 898

（三）电子计算机简介 904

计算机发展简史 904

电子计算机的特点 908

电子计算机的工作原理 910

机器语言 913

硬件和软件 914

计算逻辑与框图 916

算法 917

电子计算机的应用 920

应用电子计算机解题 921

的基本步骤 921

模拟电子计算机 923

机器证明 927

机器人 928

外国人名索引 930

人工智能 936

汉语人名索引 940

冠以人名的词语索引 947

词语索引 949

希腊字母表 976