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第1章 实数 3

一、有理数 3

有理数的概念 3

绝对值 3

有理数的运算 4

近似数及有效数字 5

二、无理数 8

无理数的概念 8

三、实数的概念 10

实数 10

四、相关知识链接 10

刘徽 10

程大位 12

中国是最早使用负数的国家 13

无理数的由来 13

中国数学史 14

第2章 代数式及其运算 25

一、代数式 25

代数式的概念 25

单项式 26

多项式 26

代数式的运算 27

二、整式的加减乘除 28

加减运算 28

乘法运算 28

除法运算 29

三、因式分解 30

因式分解的概念 30

因式分解的方法 30

四、分式 31

分式的概念及性质 31

分式的运算 32

五、相关知识链接 33

杨辉 33

陈景润 34

哥德巴赫猜想 35

中国数学奥林匹克 35

巴比伦数学 36

第3章 方程 41

一、一元一次方程 41

方程的概念 41

解方程 41

方程同解原理 42

二、二元一次方程组 42

二元一次方程组的概念 42

二元一次方程组的解法 43

多元方程 44

三元一次方程组 44

三、一元二次方程 44

一元二次方程的概念 44

因式分解法解一元二次方程 45

配方法解一元二次方程 45

公式法解一元二次方程 45

一元二次方程根与系数的关系 46

代数基本定理 47

四、分式方程 47

分式方程的概念 47

分式方程的解法 47

五、代数方程 48

代数方程 48

验根 49

超越方程 49

六、二元二次方程组 50

二元二次方程 50

二元二次方程组 50

二元二次方程组的解法 50

七、行列式 52

二阶行列式 52

二元线性方程组的行列式解法 52

三阶行列式 53

三阶行列式的性质 53

代数余子式 55

三元线性方程组的行列式解法 55

三元齐次线性方程组 56

八、相关知识链接 57

关于代数 57

关于中国古代的一次方程组 58

中国古代的一个一元二次方程 60

阿贝尔 60

韦达 61

华罗庚 62

丢番图 63

第4章 平面几何知识 67

一、基本概念 67

几何学 67

直线的基本性质 67

角 67

角的平分线 68

对顶角 68

垂线 69

点到直线的距离 69

等腰三角形 69

二、三角形 69

多边形 69

多边形的内角和定理 70

三角形的分类 70

三角形的性质 70

勾股定理 71

三角形的角平分线、高线、中线 72

三角形的垂心、重心、内心、外心、旁心 74

全等三角形 75

全等三角形的判定 75

等腰三角形的性质 76

线段的垂直平分线 76

轴对称 76

轴对称的性质 77

三、平行线 77

同位角、内错角、同旁内角 77

平行线 78

两平行线的公垂线 78

平行公理 78

平行线的性质 78

平行线的判定方法 78

四、平行四边形 79

平行四边形的判定及性质 79

矩形的判定及性质 79

菱形的判定及性质 80

正方形的判定及性质 80

中心对称图形 80

五、梯形 81

梯形 81

等腰梯形 81

直角梯形 82

四边形的分类 82

平行线分线段成比例定理 82

平行线等分线段定理 83

六、相似形 84

成比例线段 84

比例的性质 84

黄金分割 85

相似三角形 85

相似三角形的判定 85

相似三角形的性质 86

七、圆 86

圆的基本概念 86

圆的相关性质 87

点的轨迹 88

圆周长公式 88

弧长公式 88

圆的面积公式 88

扇形的面积公式 89

弓形的面积公式 89

多边形的外接圆 89

多边形的内切圆 90

正多边形的外接圆和内切圆 90

直线和圆的位置关系 91

圆的切线的判定及性质 91

两圆的位置关系 91

两圆的公切线 92

切线长定理 92

弦切角定理 93

相交弦定理 93

切割线定理 93

垂径定理 93

卜拉美古塔定理 94

托勒密定理 94

梅涅劳定理 94

塞瓦定理 94

西摩松线 95

八、相关知识链接 95

中国古代有关三角的一些研究 95

关于圆周率π 96

徐光启 97

欧几里得 99

祖冲之 99

泰勒斯 100

希尔伯特 101

16、17世纪数学 102

第5章 集合与简易逻辑 107

一、集合与集合的运算 107

集合 107

集合的表示方法 108

集合的分类 108

集合与集合的关系 109

集合的运算性质 110

有限集合的子集个数公式 111

二、逻辑联结词与四种命题 112

命题 112

逻辑联结词 112

复合命题的真值表 113

开语句 114

四种命题 114

四种命题的关系 115

逻辑等价 116

反证法 116

三、充要条件 117

充分条件与必要条件 117

四、相关知识链接 118

康托 118

罗素悖论 118

十九世纪数学 119

第6章 函数 127

一、函数 127

对应 127

映射 128

一一映射 129

逆映射 129

常量与变量 129

函数 130

平面直角坐标系 130

函数的图像 130

同一函数 131

区间 131

常函数 132

一元函数 132

二元函数 132

多元函数 132

正比例函数 133

反比例函数 133

一次函数 134

二次函数 135

分段函数 135

函数的表示方法 135

增函数 136

减函数 136

函数的单调性 136

单调区间 137

复合函数 137

复合函数的单调性 137

偶函数 138

奇函数 138

反函数 138

反函数的性质 139

函数图像的做法 139

二、指数与指数函数 141

根式 141

指数 142

指数的运算性质 143

指数函数 143

指数函数的图像及性质 143

三、对数与对数函数 144

对数 144

常用对数 144

自然对数 144

对数的基本性质 145

对数的运算性质 145

对数的换底公式 145

对数函数 145

对数函数的图像和性质 146

指数、对数方程 147

四、相关知识链接 147

陈建功 147

笛卡儿 148

传染病的传播 149

第7章 数列 153

一、数列 153

数列 153

数列的通项公式 154

数列的表示方法 154

数列的分类 155

递推公式 156

数列的前n项和 156

二、等差数列 157

等差数列的概念 157

等差数列的通项公式 157

等差数列的求和 158

等差中项 158

等差数列的性质 158

三、等比数列 159

等比数列的概念 159

等比数列的通项公式 160

等比数列的增减性 160

等比数列的求和 160

等比中项 161

等比数列的性质 161

等差数列、等比数列的判定方法 162

常用数列求和方法 163

四、相关知识链接 164

斐波那契 164

老鼠的繁殖问题 165

植树造林绿化环境向题 166

用优惠券购书 168

分期付款问题 170

第8章 三角函数 175

一、任意角的三角函数 175

任意角的概念 175

弧度制 175

弧长公式 176

任意角的三角函数 176

三角函数线 177

三角函数值的符号 178

同角三角函数的关系式 178

正弦、余弦、正切的诱导公式 179

二、两角和与差的三角函数 181

两角和与差的正弦、余弦、正切 181

二倍角、半角的正弦、余弦、正切 182

和差化积、积化和差公式 183

三、三角函数的图像和性质 184

三角函数的图像 184

周期函数 186

三角函数的周期 187

正弦函数、余弦函数的性质 187

正切函数、余切函数的性质 189

函数y=Asin （ωx+？）的图像和性质 190

四、相关知识链接 191

明安图 191

戴煦 192

中国发展数学的重要计划 192

第9章 平面向量 197

一、向量及其运算 197

向量 197

向量的模 197

零向量 197

单位向量 198

自由向量 198

平行向量 198

相等向量 198

相反向量 198

向量的加法 198

向量的减法 200

实数与向量的积 200

平面向量的数量积 201

平面向量基本定理 202

平面向量的平行 203

平面向量的垂直 203

两点间的距离公式 203

线段的定比分点 203

平移 205

二、解三角形 206

解直角三角形 206

解斜三角形 206

正弦定理 207

余弦定理 207

三角形的面积公式 207

三、相关知识链接 208

人造地球卫星的运行问题 208

通信网络 210

第10章 不等式 215

一、不等式及其性质 215

不等式 215

一元一次不等式 215

一元一次不等式组 215

一元二次不等式 216

一元二次不等式组 216

绝对值不等式 216

分式不等式 216

无理不等式 216

不等式的性质 217

二、不等式的证明 217

算术平均数与几何平均数 217

常用基本不等式 219

柯西不等式 219

绝对值不等式的性质 219

不等式的证明方法 219

三、不等式的解法 221

不等式的同解原理 221

一元一次不等式的解法 222

一元二次不等式的解法 222

简单的高次不等式的解法 223

分式不等式的解法 224

无理不等式的解法 224

含绝对值的不等式的解法 224

四、相关知识链接 226

柯西 226

人口与耕地问题 227

库存 228

蔬菜运输方式的选择 230

第11章 直11线和圆的方程 235

一、直线的方程 235

直线的倾斜角 235

直线的斜率 235

直线的方向向量 236

直线的方程 236

直线方程的形式 236

法向量 238

二、两条直线的位置关系 238

平行 238

垂直 239

两条直线位置关系的判定方法 239

两直线的夹角 239

两直线的交点 240

直线系 241

点到直线的距离 241

三、简单的线性规划 242

二元一次不等式表示的平面区域 242

线性规划 243

四、圆 244

曲线和方程 244

求曲线的方程 245

曲线的交点 246

解析几何 247

圆的标准方程 247

确定圆的方程的方法 248

参数方程 249

圆的参数方程 249

普通方程 249

直线和圆的位置关系 250

两圆的位置关系 250

圆的切线方程的求法 251

圆的弦长的求法 252

圆系方程 252

五、相关知识链接 253

数学发展简史 253

台风预报 262

第12章 圆锥曲线方程 265

一、椭圆 265

椭圆的定义 265

椭圆的标准方程及几何性质 266

椭圆的参数方程 266

椭圆的焦半径 267

椭圆的焦准距 267

椭圆的焦点弦 268

椭圆的通径 268

二、双曲线 268

双曲线的定义 268

双曲线的标准方程及几何性质 269

双曲线的焦半径 270

双曲线的通径 271

双曲线的渐近线的特征与求法 271

双曲线系 271

共轭双曲线 272

三、抛物线 272

抛物线的定义 272

抛物线标准方程及几何性质 273

抛物线的焦半径 273

抛物线的焦点弦 273

四、圆锥曲线 274

圆锥曲线的统一定义 274

直线与圆锥曲线的位置关系 274

五、相关知识链接 276

秦九韶 276

李善兰 277

生态平衡问题 278

预测水位上涨 278

第13章 直线 平面 简单几何体 283

一、空间的直线和平面 283

几何 283

空间图形 283

立体几何 283

空间多边形 283

平面 283

平面的基本性质 284

空间图形在平面内的表示方法 286

空间的直线 287

等角定理 288

空间图形的平移 288

异面直线 289

异面直线所成的角 289

空间直线和平面的位置关系 289

空间直线和平面平行 290

空间平面与平面平行 290

直线与平面垂直 291

三垂线定理 292

三垂线定理的逆定理 292

平面与平面垂直 292

二、空间向量 293

空间向量 293

相等的空间向量 293

空间向量的运算 293

平行六面体 294

共线向量 294

空间直线的向量参数表示式 295

共面向量 295

基底 295

基向量 295

空间向量基本定理 296

向量的长度 296

向量的垂直 296

向量的数量积 296

向量的正射影 297

用向量解几何题的一般方法 297

单位正交基底 297

空间直角坐标系 297

右手直角坐标系 298

向量a的坐标 298

点在空间直角坐标系中的坐标 298

向量的直角坐标运算 299

法向量 299

向量的夹角公式 300

空间两点间的距离公式 300

三、夹角和距离 300

平面的斜线与平面所成的角 300

二面角 301

二面角的平面角 302

直二面角 302

图形与图形的距离 302

点与点间的距离 302

点到平面的距离 303

点到直线的距离 303

直线到平面的距离 303

两平行平面的距离 303

异面直线的距离 304

四、简单多面体与球 304

多面体 304

凸多面体 305

棱柱 305

棱柱的性质 306

长方体 306

正方体 307

棱锥 307

棱锥的性质 307

祖暅原理 308

棱台 308

正棱台 310

正多面体 311

正多面体的性质的应用 312

简单多面体 312

欧拉定理 312

拓扑学 312

球面 313

球体 313

大圆、小圆 313

球的性质 313

球的体积公式 313

球的表面积公式 313

球面距离 313

五、相关知识链接 314

祖暅 314

阿基米得 315

欧氏几何与非欧几何 316

测量降雨量 320

罐头盒的设计问题 320

第14章 排列、组合和二项式定理 325

一、排列与组合 325

分类计数原理与分步计数原理 325

排列 325

排列数 326

全排列 326

阶乘 326

组合 327

组合数 327

相异元素可以重复的排列数公式 327

二、二项式定理 328

二项式定理 328

二项展开式的性质 328

二项式系数的性质 329

三、相关知识链接 329

汪莱 329

欧拉 330

阿拉伯数学 332

足球甲A联赛 333

第15章 概率与统计 337

一、概率 337

概率论 337

确定性现象 337

随机现象 337

必然事件 338

不可能事件 338

随机事件 338

频率 338

事件A的概率 338

基本事件 339

等可能事件的概率 340

互斥事件 340

互斥事件有一个发生的概率 340

对立事件 342

对立事件的概率 342

相互独立事件 342

相互独立事件同时发生的概率 343

独立重复试验 343

独立重复试验的概率 343

概率的和与积的互补公式 344

大数定律 344

二、随机变量 344

随机变量 344

离散型随机变量 345

连续型随机变量 345

离散型随机变量的分布列 345

二项分布 346

期望 347

一组数据的方差 347

随机变量的方差 348

极差 348

标准差 348

方差与标准差的性质 348

三、统计 349

统计学 349

总体、个体和样本 349

抽样 350

平均数 350

总体平均数 351

加权平均数 351

众数 351

中位数 352

平均差 352

变异系数 353

简单随机抽样 353

抽签法 354

随机数表法 354

系统抽样 354

分层抽样 355

简单随机抽样、系统抽样与分层抽样的区别与联系 355

放回抽样 356

不放回抽样 356

总体分布的估计 356

频率分布表 356

频率分布条形图 357

组距 357

累积频率 357

频率分布直方图 358

累积频率分布图 359

总体分布 360

总体密度曲线 360

正态分布 361

正态曲线 361

标准正态总体 362

标准正态曲线 362

一般正态总体与标准正态总体的转化 363

线性回归 364

回归直线方程 365

样本相关系数 365

四、相关知识链接 366

泊松 366

费马 367

掷骰子游戏 367

“彩票”的中奖率 368

第16章 极限 373

一、数学归纳法 373

特殊命题和一般命题 373

数学归纳法 373

不完全归纳法 374

完全归纳法 374

杨辉三角 374

二、极限 375

数列的极限 375

数列极限的性质 375

数列极限的四则运算 376

函数的极限 376

函数的单侧极限 377

函数的左极限 377

函数的右极限 378

函数的极限的性质 378

函数极限的四则运算 378

两个重要的极限 379

函数的连续性 379

最大值最小值定理 380

间断点 380

三、相关知识链接 381

戴德金 381

达朗贝尔 382

求和的困惑 383

第17章 导数与微分 387

一、导数 387

导数的概念 387

求函数导数的方法 387

导函数 388

导数的几何意义 388

几种常见函数的导数 389

函数的和、差、积、商的导数 390

反函数的导数 390

对数求导法 390

二阶导数 391

三阶导数 391

n阶导数 391

高阶导数 392

导数的莱布尼茨符号 392

复合函数的导数 392

对数函数与指数函数的导数 392

二、导数的应用 393

判断函数的单调性 393

求函数的极值 394

求函数的最大值与最小值 395

判定曲线凹性的方法 396

拐点 396

曲线拐点的求法 396

渐近线 397

原函数 398

三、微分 398

微分 398

复合函数的微分 399

中值定理 400

洛必达法则 401

四、相关知识链接 402

牛顿 402

莱布尼茨 403

帕斯卡 404

十八世纪数学 405

第18章 复数 411

一、复数的概念 411

虚数单位 411

复数 411

两个复数相等 412

共轭复数 412

复数集 412

二、复数的代数运算 412

复数的加法与减法 412

复数的乘法 412

复数的除法 413

复数的开方 413

三、复数的向量表示 414

复平面 414

复数的模 415

复数加法的几何意义 415

复数减法的几何意 义 415

复数的运算性质 416

四、复数的三角形式 416

复数的幅角 416

复数的三角形式 417

棣莫佛定理 417

复数的指数形式 417

五、相关知识链接 417

18个21世纪的重大数学问题 417

国际数学奥林匹克 420

第19章 解题方法与技巧 425

一、基本解题方法 425

用配方法求函数的值域 425

用配方法求函数的最大值、最小值 426

用配方法解决平面几何问题 426

用两点间的距离解决最小值问题 427

用待定系数法解决方程的曲线问题 427

用待定系数法求曲线的方程问题 428

用构造法解决函数问题 428

用构造法解决二项式系数问题 429

用构造法解决平面几何问题 429

用构造法解决不等式问题 430

用列举法解决集合问题 431

用列举法解决与自然数有关的问题 431

用列举法解决计数问题 432

用列举法解决排列、组合问题 432

用递推法解决数列的通项问题 433

用递推法解决比较大小问题 434

用递推法求极限 434

用递推法解决平面几何问题 435

用综合法解决计数问题 436

用综合法解决三角形问题 437

用综合法解决复数问题 438

用综合法解决解析几何问题 438

用综合法解决不等式的证明问题 440

用分析法解决向量问题 440

用分析法比较大小 441

用比较法证明不等式 443

用反证法证明否定性命题 444

用反证法证明唯一性命题 445

用反证法证明不等问题 445

用反证法证明“至多”、“至少”的问题 446

用放缩法证明不等式 447

二、分类讨论 448

因概念分段定义引起的分类讨论 449

因公式分段表达引起的分类讨论 450

因所实施的运算引起的分类讨论 451

因图形位置不确定引起的分类讨论 453

因图形的形状不同引起的分类讨论 454

因字母系数参与引起的分类讨论 455

因条件不唯一引起的分类讨论 456

三、避免分类讨论的策略 458

变量分离法 458

实数绝对值的平方 459

换元法 460

方程与函数的转化 461

四、数形结合 462

集合中的数形结合 462

命题中的数形结合 463

函数中的数形结合 463

方程中的数形结合 464

不等式中的数形结合 465

数列中的数形结合 465

用数形结合解决角的问题 466

平面上的曲线问题用方程解决 468

五、转化 470

变量间的转化 470

换元转化 470

空间图形与平面图形的转化 471

三棱锥的体积计算中转换顶点 472

通过作截面进行等积转化 473

把几何体分割后求体积 473

同解转化 474

利用公式的变形进行转化 475

整体转化 476

利用等积转化求点到平面的距离 476

超越方程的转化 477

命题的转化 477

无限与有限的转化 478

六、函数方法 479

用常量与变量的相对性解决问题 479

用变量的范围决定结果 481

用极限法求函数定义域 483

用公式法求函数解析式 484

用代换法求函数解析式 485

用归纳法求函数解析式 485

用直接法求函数解析式 486

七、方程的方法 487

多元等式转化为一元方程 488

将解析式赋值转化为方程 488

八、数学归纳法 490

用数学归纳法证明数列的通项问题 490

用数学归纳法证明不等式 491

用数学归纳法证明整除问题 491

用数学归纳法证明存在性问题 492

九、类比推理 493

由平行四边形的性质推平行六面体的性质 494

由正三角形的性质推正四面体的性质 495

十、篱笆法 495

篱笆法基本知识 495

用篱笆法分解二次三项式 496

用篱笆法分解二次六项式与解方程组 497

用篱笆法分解二次十项式 501

用篱笆法分解三次四项式与解方程 501

用篱笆法分解四次五项式与解方程 503

用篱笆法发现的分解高次五项式定理 505

十一、相关知识 链接 515

篱笆法的发明人董国超 515

华罗庚等科学家支持篱笆法（史料摘录） 518

第20章 名题详解 547

附录一 数学大事年表 547

附录二 国际国内数学大奖 566

费尔兹奖 566

沃尔夫数学奖 568

阿贝尔奖 571

内万林纳奖 572

华罗庚数学奖 573

附录三 本书所用符号 574