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第一部分 代数 1

一、集合与函数（题1—题252） 1

（一）集合 1

1.选择题（题1—题10） 1

2.集合及其子集（题11—题20） 3

3.集合的运算（题21—题32） 6

4.其他（题33—题39） 11

（二）函数 14

1.选择题（题40—题53） 14

2.函数及其表示（题54—题74） 17

3.函数的图象（题75—题94） 26

4.二次函数（题95—题102） 40

5.复合函数（题103—题114） 44

6.函数的奇偶性（题115—题123） 51

7.函数的单调性（题124—题141） 56

8.函数的周期性（题142—题156） 65

9.指数函数与对数函数（题157—题170） 73

10.反函数（题171—题180） 81

（三）函数的最值 88

1.闭区间上二次函数的最值（题181—题184） 88

2.分段表示函数与含绝对值函数的最值（题185—题188） 90

3.二元二次函数的最值（题189—题191） 93

4.分式函数的最值（题192—题206） 94

5.高次多项式和某些特殊函数的最值（题207—题213） 101

6.无理函数的最值（题214—题220） 104

7.复合函数的最值（题221—题229） 109

8.受等式条件约束的函数的最值（题230—题238） 112

9.几何应用（题239—题252） 117

二、不等式（题1—题150） 125

（一）选择题（题1—题16） 125

（二）解不等式 129

1.整式不等式与分式不等式（题17—题26） 129

2.无理不等式（题27—题36） 134

3.含有绝对值符号的不等式（题37—题43） 139

4.指数不等式与对数不等式（题44—题57） 143

5.其他（题58—题69） 150

（三）不等式的证明 156

1.基本不等式（题70—题75） 156

2.整式不等式（题76—题94） 160

3.分式不等式（题95—题108） 168

4.根式不等式（题109—题118） 175

5.含指数或对数的不等式（题119—题126） 180

6.含绝对值符号的不等式（题127—题135） 184

7.若干项和或积的估值（题136—题150） 187

三、数列、极限、数学归纳法（题1—题154） 195

（一）数列 195

1.选择题（题1—题8） 195

2.数列（题9—题15） 197

3.等差数列（题16—题25） 200

4.等比数列（题26—题37） 204

5.其他数列（题38—题49） 211

6.综合题与应用题（题50—题62） 220

（二）极限 229

1.选择题（题63—题67） 229

2.数列的极限（题68—题 79） 230

3.综合题与应用题（题80—题93） 236

（三）数学归纳法 246

1.等式问题（题94—题103） 246

2.不等式问题（题104—题114） 253

3.数列问题（题115—题124） 260

4.几何问题（题125—题129） 267

5.数学归纳法的变形（题130—题137） 270

6.命题转换（题138—题142） 276

7.其他（题143—题154） 280

四、方程与方程组（题1—题79） 288

（一）行列式与线性方程组 288

1.二阶行列式与二元线性方程组（题1—题10） 288

2.三阶行列式（题11—题30） 293

3.用行列式解三元线性方程组（题31—题42） 304

（二）指数方程（组）和对数方程（组） 312

1.指数方程（题43—题51） 312

2.指数方程组（题52—题57） 317

3.对数方程（题58—题74） 320

4.对数方程组（题75—题79） 329

五、复数（题1—题120） 333

（一）复数的概念及运算 333

1.选择题（题1—题14） 333

2.复数的概念与运算（题15—题29） 337

3.关于模的运算（题30—题42） 342

4.关于共轭复数的运算（题43—题47） 346

（二）与方程和轨迹有关的问题 348

1.选择题（题48—题54） 348

2.复数与方程（题55—题70） 350

3.复数与轨迹（题71—题85） 356

（三）复数的其他应用 362

1.复数与最值（题86—题99） 362

2.复数与几何问题（题100—题112） 368

3.其他（题113—题120） 375

六、排列、组合、二项式定理（题1—题139） 380

（一）排列、组合 380

1.选择题（题1—题18） 380

2.排列数与组合数（题19—题29） 385

3.排列等式与组合等式（题30—题40） 388

（二）排列组合的应用 392

1.数字问题（题41—题50） 392

2.排队分组问题（题51—题72） 396

3.几何问题（题73—题77） 402

4.其他问题（题78—题83） 405

（三）二项式定理 407

1.选择题（题84—题90） 407

2.与系数和项数有关的问题（题91—题109） 409

3.等式问题（题110—题114） 415

4.不等问题（题115—题122） 416

5.二项式定理的其他应用（题123—题139） 419

第二部分 三角 424

一、三角函数（题1—题90） 424

（一）任意角的三角函数 424

1.选择题（题1—题4） 424

2.任意角的概念及弧度制（题5—题10） 425

3.任意角三角函数的定义（题11—题13） 428

4.三角函数值的符号（题14—题15） 429

（二）同角三角函数的关系 430

1.选择题（题16—题20） 430

2.求值（题21—题30） 432

3.化简（题31—题38） 437

4.证明三角恒等式（题39—题48） 441

（三）诱导公式 445

1.选择题（题49—题52） 445

2.任意角三角函数值的计算（题53—题58） 447

3.化简与证明（题59—题63） 450

（四）三角函数的图象和性质 453

1.选择题（题64—题70） 453

2.三角函数的图象（题71—题77） 456

3.三角函数的性质（题78—题90） 461

二、若干个角和差的三角函数（题1—题175） 470

（一）两角和与差的三角函数 470

1.选择题（题1—题5） 470

2.化简（题6—题9） 472

3.求值（题10—题16） 474

4.其他（题17—题21） 477

（二）倍角与半角的三角函数 480

1.选择题（题22—题27） 480

2.化简（题28—题33） 483

3.求值（题34—题40） 487

4.其他（题41—题45） 492

（三）三角函数的积化和差与和差化积 496

1.选择题（题46—题49） 496

2.化简（题50—题58） 498

3.求值（题59—题64） 503

4.其他（题65—题70） 506

（四）三角恒等变形 511

1.三角恒等式的证明（题71—题88） 511

2.一般三角条件等式的证明（题89—题101） 520

3.三角形中条件等式的证明（题102—题110） 525

4.由给定条件确定三角形或多边形的形状（题111—题118） 532

5.综合题（题119—题125） 536

（五）三角不等式与极值 541

1.三角不等式的证明（题126—题139） 541

2.三角函数的极值和应用（题140—题156） 547

（六）三角函数的应用 556

1.测量问题（题157—题164） 556

2.几何问题（题165—题175） 561

三、反三角函数（题1—题57） 568

（一）反三角函数的性质 568

1.选择题（题1—题7） 568

2.三角函数和反三角函数的反函数（题8—题16） 571

3.反三角函数的定义域和值域（题17—题30） 576

（二）反三角函数的运算 582

1.化简与求值（题31—题40） 582

2.证明题（题41—题57） 589

四、三角方程和反三角方程（题1—题67） 599

（一）三角方程 599

1.最基本的三角方程（题1—题7） 599

2.可化成含同角的同名三角函数的三角方程（题8—题16） 601

3.可化成一边为零而另一边是若干个因式的积的三角方程（题17—题36） 604

4.有关三角方程的杂题（题37—题52） 613

（二）反三角方程（题53—题67） 621

第三部分 立体几何 628

一、直线和平面（题1—题86） 628

（一）选择题（题1—题5） 628

（二）平面 629

1.基本性质（题6—题10） 629

2.水平放置图形的画法（题11—题16） 631

（三）空间中的直线 634

1.共面和异面（题17—题21） 634

2.平行直线（题22—题24） 636

3.异面直线所成的角（题25—题27） 637

4.异面直线间的距离（题28—题30） 639

（四）直线和平面 640

1.相交和平行（题31—题37） 640

2.垂直（题38—题41） 643

3.点到平面的距离、正射影（题42—题46） 644

4.直线和平面的夹角（题47—题52） 646

5.对异面直线的应用（题53—题56） 650

（五）平面和平面 652

1.相交和平行（题57—题61） 652

2.二面角（题62—题70） 655

（六）综合题和其他 661

1.综合题（题71—题74） 661

2.不等式和极值（题75—题80） 664

3.其他（题81—题86） 667

二、多面体（题1—题101） 671

（一）选择题（题1—题5） 671

（二）棱柱 672

1.证明题（题6—题12） 672

2.截面图的画法（题13—题19） 676

3.关于角度和长度的计算题（题20—题25） 678

4.关于面积的计算题（题26—题34） 682

5.关于体积的计算题（题35—题40） 689

6.其他（题41—题44） 693

（三）棱锥 697

1.证明题（题45—题53） 697

2.关于角度和长度的计算题（题54—题59） 701

3.关于面积的计算题（题60—题65） 705

4.关于体积的计算题（题66—题73） 709

5.其他（题74—题82） 713

（四）棱台 718

1.证明题（题83—题86） 718

2.关于面积的计算题（题87—题92） 721

3.关于体积的计算题（题93—题98） 725

4.其他（题99—题101） 728

三、旋转体（题1—题94） 732

（一）选择题（题1—题5） 732

（二）圆柱 733

1.证明题（题6—题7） 733

2.关于面积和体积的计算题（题8—题12） 734

3.其他（题13—题15） 737

（三）圆锥 739

1.证明题（题16—题18） 739

2.关于面积和体积的计算题（题19—题27） 740

3.其他（题28—题30） 745

（四）圆台 746

1.证明题（题31—题34） 746

2.关于半径、面积和体积的计算题（题35—题43） 748

3.其他（题44—题49） 753

（五）球 757

1.证明题（题50—题59） 757

2.关于面积和体积的计算题（题60—题66） 761

3.其他（题67—题69） 765

（六）综合题和其他 766

1.平面图形旋转得到的几何体（题70—题76） 766

2.综合题（题77—题87） 772

3.其他（题88—题94） 779

四、多面角和正多面体（题1—题30） 784

（一）选择题（题1—题3） 784

（二）多面角 784

1.多面角的性质和计算（题4—题13） 784

2.其他（题14—题18） 790

（三）欧拉定理（题19—题21） 793

（四）正多面体（题22—题30） 796

第四部分 平面解析几何 802

一、平面坐标系（题1—题79） 802

（一）选择题（题1—题4） 802

（二）有向直线（题5—题16） 803

1.有向线段（题5—题8） 803

2.分点（题9—题16） 805

（三）平面坐标方法（题17—题56） 809

1.点的坐标（题17—题25） 809

2.距离（题26—题34） 815

3.定比分点（题35—题48） 820

4.面积（题49—题54） 829

5.坐标平移和旋转（题55—题56） 835

（四）曲线与方程 836

1.曲线的方程（题57—题71） 836

2.方程的曲线（题72—题79） 844

二、直线（题1—题60） 852

（一）选择题（题1—题5） 852

（二）直线的方程 853

1.直线方程的各种形式（题6—题17） 853

2.直线系（题18—题22） 862

3.二次方程表示的直线（题23—题26） 866

（三）直线的性质 869

1.平行、垂直（题27—题33） 869

2.共点、共线（题34—题42） 873

（四）轨迹（题43—题48） 881

（五）其他（题49—题60） 886

三、圆（题1—题66） 895

（一）选择题（题1—题3） 895

（二）圆的方程（题4—题16） 896

（三）圆的性质 903

1.位置关系（题17—题22） 903

2.相切问题（题23—题30） 906

3.点关于圆的幂（题31—题34） 910

（四）轨迹（题35—题52） 913

（五）其他（题53—题66） 925

四、椭圆（题1—题73） 937

（一）选择题（题1—题6） 937

（二）椭圆的方程（题7—题13） 940

（三）椭圆的性质 944

1.直线与椭圆的关系（题14—题24） 944

2.离心率、顶点、轴、焦点、准线（题25—题31） 952

3.相切问题（题32—题39） 956

（四）轨迹（题40—题58） 960

（五）其他（题59—题73） 971

五、双曲线（题1—题58） 984

（一）选择题（题1—题5） 984

（二）双曲线的方程（题6—题12） 987

（三）双曲线的性质 991

1.直线与双曲线的关系（题13—题15） 991

2.离心率、准线（题16—题19） 993

3.渐近线（题20—题22） 995

4.相切问题（题23—题28） 996

5.等轴双曲线（题29—题36） 999

（四）轨迹（题37—题50） 1003

（五）其他（题51—题58） 1014

六、抛物线（题1—题74） 1020

（一）选择题（题1—题8） 1020

（二）抛物线的方程（题9—题11） 1023

（三）抛物线的性质 1025

1.直线与抛物线的关系（题12—题23） 1025

2.焦点、准线（题24—题31） 1032

3.相切问题（题32—题45） 1037

（四）轨迹（题46—题55） 1046

（五）其他（题56—题74） 1052

七、一般二次曲线（题1—题39） 1066

（一）选择题（题1—题3） 1066

（二）一般二次曲线的方程与化简（题4—题15） 1067

（三）一般二次曲线的性质 1075

1.直线与二次曲线的关系（题16—题19） 1075

2.圆锥曲线的统一定义（题20—题23） 1077

3.相切问题（题24—题31） 1079

（四）轨迹（题32—题35） 1083

（五）其他（题36—题39） 1087

第五部分 竞赛题与杂题 1090

一、数与代数（题1—题133） 1090

（一）有关数的问题 1090

1.数、整数及其奇偶性（题1—题10） 1090

2.完全平方数、质数与合数、整除（题11—题22） 1096

3.记数法（题23—题29） 1102

4.不定方程（题30—题36） 1109

（二）多项式 1113

1.韦达定理与对称多项式（题37—题39） 1113

2.多项式的因式分解与根（题40—题45） 1117

3.其他（题46—题50） 1123

（三）不等式与极值 1128

1.古典不等式（题51—题57） 1128

2.等高线法与局部调整法（题58—题59） 1136

3.其他（题60—题68） 1141

（四）数列与递推方程 1147

1.线性递推方程、母函数（题69—题74） 1147

2.非线性递推方程（题75—题78） 1157

3.其他（题79—题83） 1161

（五）复数与向量 1165

1.复数与向量（题84—题87） 1165

2.用复数或向量解几何问题（题88—题97） 1169

（六）函数与函数方程 1176

1.求函数方程的一般解（题98—题110） 1176

2.求函数方程的特解（题111—题115） 1183

3.由函数方程求函数的值（题116—题120） 1187

4.其他（题121—题133） 1191

二、平面几何（题1—题93） 1200

（一）几何问题 1200

1.常规问题（题1—题18） 1200

2.剖分、覆盖、嵌入（题19—题29） 1214

3.其他（题30—题40） 1221

（二）几何不等式 1228

1.有关一个三角形的不等关系（题41—题47） 1228

2.有关两个或两个以上三角形的不等关系（题48—题55） 1236

3.有关凸多边形与圆的不等关系（题56—题70） 1242

4.其他（题71—题77） 1252

（三）组合几何 1257

1.计数问题（题78—题86） 1257

2.其他（题87—题93） 1262

三、组合数学与图论（题1—题126） 1268

（一）组合 1268

1.可重组合、可重排列、母函数（题1—题12） 1268

2.组合恒等式（题13—题18） 1282

3.其他（题19—题29） 1290

（二）有限集合 1298

1.映射与集合计数（题30—题44） 1298

2.抽屉原则（题45—题65） 1310

3.容斥原理（题66—题76） 1322

（三）图论与染色问题 1331

1.图论问题（题77—题108） 1331

2.染色问题（题109—题126） 1354

四、杂题（题1—题33） 1368

（一）求值、最值、上下界 1368

1.求值（题1—题6） 1368

2.最值（题7—题9） 1373

3.上下界（题10—题12） 1377

（二）存在性问题 1380

1.有关数的问题（题13—题15） 1380

2.有关点的问题（题16—题18） 1381

3.其他（题19—题23） 1383

（三）判定问题及其他 1386

1.判定问题（题24—题27） 1386

2.其他（题28—题33） 1389