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第一章 预备知识 1

1 度量空间 1

1.1 度量空间的基本概念 1

1.2 连通分支 2

1.3 完备性 2

1.4 紧性 3

1.5 仿紧性与单位分解 3

1.6 Banach空间 4

1.7 Dugundji延拓定理 5

2 有界线性算子的基本理论 5

2.1 有界线性算子、有界线性泛函及共轭空间 5

2.2 弱收敛与弱收敛 6

2.3 Banach逆算子定理 7

2.4 有界线性算子的正则集与谱 7

2.5 全连续线性算子的Riesz—Schauder理论 8

3 Sobolev空间 9

3.1 H older连续函数空间 9

3.2 Wk,p空间 10

3.3 嵌入定理 11

4 二阶椭圆型偏微分方程 12

4.1 古典解与Schauder估计 12

4.2 强解与Lp估计 14

4.3 弱解 15

第二章 非线性映射的基本概念与基本定理 18

1.1 连续性、有界性与泛函的极值 19

1 非线性映射的连续性与有界性 19

1.2 Caratheodory映射 22

2 非线性映射的微分 24

2.1 Gateaux微分与Frechet微分 25

2.2 高阶导数与Taylor公式 35

3 紧连续映射 40

3.1 紧连续映射及其性质 40

3.2 一些例子 44

4 隐函数定理 47

4.1 隐函数定理 48

4.2 反函数定理及其推广 52

4.3 Newton迭代程序 54

5 Banach空间中常微分方程初值问题 58

5.1 局部可解性 59

5.2 一般的Gronwall引理 61

5.3 解的存在极大区间 62

第二章习题 65

第三章 拓扑度理论 67

1 Brouwer度的定义 68

1.1 Sard定理 69

1.2 C2映射的Brouwer度 71

1.3 Brouwer度的定义 78

2 Brouwer度的基本性质 81

2.1 Brouwer度的基本性质 81

2.2 简化定理与乘积公式 84

3 Brouwer不动点定理与Borsuk定理 90

3.1 Brouwer不动点定理 90

3.2 Borsuk定理及其应用 91

4 Leray—Schauder度 95

4.1 全连续场与紧同伦 95

4.2 Leray—Schauder度的定义 97

4.3 Leray—Schauder度的性质 99

4.4 孤立零点的指数 104

5 Leray—Schauder不动点定理与Borsuk定理的推广 108

5.1 Leray—Schauder不动点定理 108

5.2 Borsuk定理的推广 111

5.3 一些例子 112

第三章习题 118

第四章 半序Banach空间与算子方程的正解 120

1 半序Banach空间 120

1.1 锥与半序 121

1.2 正泛函与共轭锥 125

2 增映射与上、下解方法 130

2.1 上、下解与单调迭代 130

2.2 Krein—Rutman定理 132

2.3 上、下解的存在性 138

3 锥映射的拓扑度 141

3.1 锥映射的拓扑度 141

3.2 锥映射拓扑度的性质 143

3.3 多重正解的存在性 150

第四章习题 153

第五章 分歧理论 155

1 分歧的定义与例子 156

2 Lyapunov—Schmidt过程 160

3.1 奇重特征值点的分歧 166

3 奇重特征值点的分歧与渐近歧点 166

3.2 渐近歧点 171

4 大范围分歧定理 173

4.1 Rabinowitz大范围分歧定理 174

4.2 正解的大范围分歧定理 179

第五章习题 182

第六章 变分原理 185

1 极值问题 185

1.1 极值的必要条件 186

1.2 Ekeland变分原理 189

2 形变引理 193

2.1 伪梯度向量场与f的下降流线 195

2.2 (P.S.)条件 197

2.3 形变引理 200

3 极小极大原理及其在半线性椭圆型方程中的应用 204

3.1 极小极大原理 204

3.2 在椭圆型边值问题中的应用 210

4 Z2指标理论 215

4.1 Z2指标 215

4.2 Z2伪指标 221

5 非线性特征值问题与局部分歧 226

5.1 非线性特征值问题 226

5.2 在局部分歧问题中的应用 228

第六章习题 234

参考文献 237

索引 245