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第1章　复数与复变函数 1

1.1 复数及其运算 1

1.1.1　复数定义及运算 1

1.1.2　复数的代数式 2

1.1.3　复数的模与共轭复数 2

1.2　复数的几何表示 3

1.2.1 复平面与复数的向量式 3

1.2.2　复数的三角式与指数形式 4

1.2.3　复数的n次方根 5

1.2.4　无穷远点与复球面 7

1.3　平面点集 8

1.3.1 邻域 8

1.3.2 曲线 9

1.3.3 区域 9

1.3.4　无穷远点的邻域 10

1.4　复变函数 10

1.4.1 复变函数的概念 10

1.4.2　复变函数的极限 13

1.4.3　复变函数的连续性 16

1.5 习题 17

第2章　解析函数 20

2.1　复变函数的导数 20

2.1.1　复变函数的导数 20

2.1.2　复变函数的微分 22

2.2　解析函数 23

2.2.1　解析函数概念 23

2.2.2　柯西-黎曼条件（C.-R．条件） 23

2.2.3　调和函数 26

2.3　初等函数 28

2.3.1　幂函数与根式函数 28

2.3.2　指数函数与对数函数 30

2.3.3　三角函数与反三角函数 33

2.3.4　一般幂函数与一般指数函数 36

2.3.5　双曲函数与反双曲函数 37

2.4 习题 37

第3章　复变函数的积分 40

3.1　复变函数的积分概念 40

3.1.1　复积分的定义 40

3.1.2　复积分存在的一个条件 41

3.1.3　复积分的性质与计算 42

3.2　积分基本定理 46

3.2.1 单连通区域的柯西定理——柯西-古萨基本定理 46

3.2.2　复连通区域的柯西定理——复合闭路定理 47

3.3　积分基本公式与高阶导数公式 50

3.3.1　积分基本公式 50

3.3.2 高阶导数公式 53

3.4　原函数与不定积分 56

3.5 习题 58

第4章 级数 61

4.1　复级数的基本概念 61

4.1.1　复数项级数 61

4.1.2　复变函数项级数 62

4.2　幂级数 64

4.2.1　幂级数的概念 64

4.2.2　幂级数的收敛圆 64

4.2.3　和函数的解析性 66

4.3　泰勒级数 66

4.3.1 泰勒定理 66

4.3.2　解析函数表成幂级数的例子 68

4.4　双边幂级数 71

4.4.1　双边幂级数的概念 71

4.4.2　双边幂级数的收敛域及其和函数的解析性 72

4.5 罗朗级数 73

4.5.1 罗朗定理 73

4.5.2　函数展成罗朗级数的例子 73

4.6　解析函数在孤立奇点的性质 75

4.6.1 复平面上孤立奇点及其分类 75

4.6.2　函数在孤立奇点的去心邻域内的性质 75

4.6.3 复平面上孤立奇点分类的例子 77

4.6.4　函数在无穷远点的去心邻域的性质 78

4.7 习题 80

第5章 留数及其应用 83

5.1 留数的概念与计算 83

5.1.1 关于有限点的留数概念 84

5.1.2　关于留数的计算 84

5.1.3　关于无穷远点的留数 86

5.2 留数定理 88

5.3 留数在计算某些定积分上的应用 90

5.3.1　积分Ⅰ：？dx的计算 92

5.3.2　积分Ⅱ：？eikxdx的计算 94

5.3.3 积分Ⅲ：？Ra(cosx,sinx)dx的计算 96

5.4　对数留数与辐角原理 98

5.4.1　对数留数 98

5.4.2　儒歇定理及其应用 99

5.5　习题 100

第6章　共形映射 104

6.1　解析函数的映射性质 104

6.1.1　解析函数的保域性与保角性 104

6.1.2　共形映射概念 106

6.2　几个初等函数的映射性质 107

6.2.1　函数w=z+h（h为常数）的映射性质 107

6.2.2　函数w=kz（k为常数，且k≠0）的映射性质 107

6.2.3　函数w=1/z的映射性质 107

6.2.4　幂函数与根式函数的映射性质 108

6.2.5　指数函数与对数函数的映射性质 110

6.2.6　茹科夫斯基函数的映射性质 111

6.2.7　分式线性变换的映射性质 112

6.3　共形映射的基本问题举例 115

6.3.1 共形映射的基本问题 115

6.3.2　例子 116

6.5 习题 120

第7章　傅里叶变换 124

7.1　傅里叶变换的概念和性质 124

7.1.1　傅里叶积分 124

7.1.2　傅里叶变换的概念 128

7.1.3　δ函数及其傅里叶变换 129

7.1.4　傅里叶变换的性质 132

7.2　傅里叶变换的应用 133

7.2.1 周期函数与离散频谱 133

7.2.2　非周期函数与连续频谱 134

7.3 习题 135

第8章　拉普拉斯变换 137

8.1 拉普拉斯变换的概念与性质 137

8.1.1　拉普拉斯变换的概念 137

8.1.2　拉普拉斯变换的性质 138

8.2　拉普拉斯变换的逆变换 141

8.2.1　部分分式法 141

8.2.2　拉普拉斯变换的逆变换的性质 143

8.3　拉普拉斯变换的应用 144

8.3.1　微分方程的拉普拉斯变换解法 144

8.3.2　电路问题的拉普拉斯变换解法 146

8.4　习题 147

习题答案 150

参考文献 164