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第一章 代数学的经典课题 1

引言 1

1 若干准备知识 4

1．复数的基本知识 4

2．数域的概念 9

3．集合论的若干概念 10

4．求和号与乘积号 15

5．充分必要条件 17

习题一 19

2 一元高次代数方程的基础知识 22

1．高等代数的基本定理 22

2．根的基本性质 24

3．实数域上代数方程的根 28

习题二 29

3 线性方程组 30

1．线性方程组概述 30

2．线性方程组的解法 32

3．齐次线性方程组 43

习题三 44

本章小结 47

第二章 向量空间与矩阵 49

1 m维向量空间 49

1．向量组的线性相关与线性无关 53

2．向量组的秩 58

3．集合内的等价关系 64

习题一 65

2 矩阵的秩 69

习题二 80

3 线性方程组的理论课题 83

1．齐次线性方程组的基础解系 84

2．基础解系的求法 88

3．线性方程组的一般理论 90

习题三 95

4 矩阵的运算 99

1．矩阵的加法和数乘 100

2．矩阵的乘法运算 103

3．矩阵乘法的几何意义 108

4．矩阵乘法的基本性质 111

5．矩阵运算和秩的关系 113

习题四 115

5 n阶方阵 119

1．数域上的n阶方阵 119

2．n阶初等矩阵 123

3．逆矩阵 127

4．几类特殊的n阶方阵 134

习题五 136

6 分块矩阵 141

1．准对角矩阵 143

2．分块矩阵的秩 145

3．矩阵的分块求逆 148

习题六 149

本章小结 152

第三章 行列式 155

1 平行六面体的有向体积 155

2 n阶方阵的行列式 160

1．行列式的定义 160

2．行列式的性质 171

3．行列式对任意行（列）的展开公式 174

4．行列式的其他重要性质 181

习题一 183

3 行列式的初步应用 189

1．齐次线性方程组 189

2．逆矩阵 190

3．矩阵乘积的行列式 195

4．矩阵的秩与行列式 197

习题二 199

4 行列式的完全展开式 202

习题三 209

5 Laplace展开式与Binet-Cauchy公式 211

习题四 217

本章小结 218

第四章 线性空间与线性变换 220

引言 220

1 线性空间的基本概念 222

1．线性空间的定义和实例 222

2．线性空间的基本属性 224

3．线性空间的基本概念 225

4．基和维数 229

5．向量的坐标 232

6．基变换与坐标变换 238

7．Kn中的基变换 241

习题一 243

2 子空间与商空间 247

1．子空间的基本概念 247

2．子空间的交与和 250

3．子空间的直和 255

4．商空间 262

习题二 267

3 线性映射与线性变换 272

1．线性映射 272

2．线性空间的同构 275

3．线性映射的核、像集和余核 277

4．线性映射的运算 280

5．线性映射的矩阵 282

6．线性变换的基本概念 285

7．线性变换在不同基下的矩阵 292

习题三 294

4 线性变换的特征值与特征向量 302

1．特征值与特征向量的定义 303

2．特征值与特征向量的计算法 306

3．特征多项式的基本性质 309

4．具有对角形矩阵的线性变换 312

5．不变子空间 318

6．商空间中的诱导变换 322

习题四 325

本章小结 331

第五章 双线性函数与二次型 333

1 双线性函数 333

1．线性与双线性函数 334

2．双线性函数在不同基下的矩阵 337

3．对称双线性函数 339

习题一 341

2 二次型 346

1．二次型的标准形 349

2．二次型标准形的计算方法 353

习题二 357

3 实与复二次型的分类 360

1．复二次型的分类 360

2．实二次型的分类 362

习题三 364

4 正定二次型 366

习题四 370

本章小结 371

习题答案与提示 373