数学模型入讲 模型 模式与文化pdf电子书版本下载

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第一讲 数学模型、模式与文化 1

1 数学模型与数学模式 3

2 数学哲学基本问题及不同回答 8

2.1 数学哲学基本问题 8

2.2 数学哲学的两大流派——理性主义和经验主义 9

2.3 数学形态的历史演化 12

2.4 逻辑主义、直觉主义和形式主义——数学的真理性 13

2.5 如何看待数学证明？ 18

2.6 数学发展的历史经验 21

3 数学与计算机科学 24

4 数学与艺术 27

参考文献 30

第二讲 浅谈悖论 32

1 悖论的三种情况 33

2 几个有趣的悖论 36

3 一个引发悖论的重要模式——自指 38

4 哥德尔不完全性定理的证明线索 39

5 图灵停机问题 46

6 任意大的集合基数 49

7 文学、美术、音乐和中国古代文献中的悖论 50

8 预言可能吗？ 53

参考文献 54

第三讲 对称群、装饰图案、血缘关系 56

1 从平面几何说起 57

2 对称概念与群的数学定义 59

3 花边、壁纸、艾舍尔的画及其他 62

4 群与血缘关系 72

参考文献 77

第四讲 斐波那契序列及有关模型 78

1 斐波那契的兔子 78

2 花瓣的数目与叶子的排列 80

3 凤梨鳞片排列方式的几何描述 81

4 向日葵花盘上的螺线模式 85

5 叶序的数学物理解释，从物理考虑出发的计算机模拟 89

6 斐波那契序列的其他表达方式 91

7 斐波那契序列与游戏和魔术 93

附录 斐波那契序列的一个性质 94

参考文献 95

第五讲 有关生命现象的几个数学模型 96

1 元胞自动机的基本概念 98

2 康维的生命游戏 100

3 图灵扩散 105

4 关于性别比的数学讨论 113

参考文献 117

第六讲 速降线问题与变分法 118

1 一段有趣的历史和速降线问题 119

2 速降线问题的雅格布·伯努利解法 121

3 几何学中的海伦——速降线的奇妙性质 122

4 变分问题的数学讨论 126

4.1 速降线问题的变分提法 126

4.2 变分问题的其他实例 127

4.3 求解变分问题的途径——欧拉方程 129

4.4 几点说明 131

5 物理学中的变分原理 136

6 经典变分问题的发展——控制论模型 140

6.1 控制论的数学模型 140

6.2 一个血糖含量的控制问题 141

附录 多变量函数积分给出的变分问题 145

参考文献 146

第七讲 从最小二乘法谈起 147

1 可由最小二乘法求解的问题实例 148

1.1 观测数据的最小二乘拟合 148

1.2 层析成像中的最小二乘法 149

1.3 球队排名问题 150

2 最小二乘法的几何解释，阻尼和加权最小二乘法 152

2.1 最小二乘法的几何解释 152

2.2 阻尼和加权最小二乘法 152

3 从投影观点看傅里叶级数及其他有关问题 153

3.1 傅里叶级数 153

3.2 伽略金方法 154

3.3 随机信号处理中的滤波问题 156

4 广义逆 157

5 傅里叶变换 159

6 最小二乘法和物理问题 160

6.1 基尔霍夫定律和最小二乘模型 160

6.2 极小势能问题 162

6.3 离散问题与连续问题的关系 164

参考文献 167

第八讲 驾驭偶然性 168

1 敏感问题的抽样调查方法 170

2 未名湖水系中金鱼数量的估计 172

3 莎士比亚所掌握的词汇量 173

4 用统计方法研究因果关系 177

4.1 问题的提出 177

4.2 问题的数学表达 178

参考文献 182

学生自拟论文题目选辑 183