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引言 1

第一章 向量空间与矩阵 10

1n维向量空间 10

一、n维向量空间的基本概念 10

二、向量组的线性相关与线性无关 13

三、向量组的极大线性无关部分组和秩 20

四、矩阵的秩 24

练习题1.1 36

2线性方程组 38

一、线性方程组的基本概念和求解方法 38

二、齐次线性方程组 42

三、线性方程组的一般理论 48

练习题1.2 53

3矩阵代数 55

一、矩阵的加法和数乘 55

二、矩阵的乘法 56

三、矩阵乘法的几何意义 59

四、矩阵运算和秩的关系 60

五、n阶方阵 66

六、分块矩阵 80

练习题1.3 88

第二章 行列式 90

1行列式的定义、性质和计算方法 90

一、行列式的定义 90

二、行列式的性质 94

三、行列式的计算方法 97

四、分块矩阵的行列式 107

练习题2.1 108

2行列式的应用 110

练习题2.2 123

第三章 线性空间与线性变换 126

1线性空间的基本理论 126

一、线性空间的定义 126

二、线性空间的基与维数 131

三、基变换与坐标变换 138

练习题3.1 141

2线性空间的子空间和商空间 144

一、线性空间的子空间 144

二、子空间的交与和 146

三、子空间的直和 157

四、商空间 163

练习题3.2 167

3线性映射与线性变换 170

一、线性映射的基本概念 170

二、线性映射的运算 175

三、线性映射的矩阵 178

四、线性变换的基本概念 181

练习题3.3 190

4线性变换的特征值与特征向量 192

一、特征值与特征向量的定义与计算方法 192

二、线性变换矩阵可对角化的条件 199

三、线性变换的不变子空间 205

四、商空间中的诱导变换 214

练习题3.4 218

第四章 双线性函数与二次型 221

1双线性函数 221

一、双线性函数的定义 221

二、对称双线性函数 225

练习题4.1 235

2二次型 238

练习题4.2 253

3实与复二次型的分类 255

练习题4.3 262

4正定二次型 263

练习题4.4 273

第五章 带度量的线性空间 274

1欧几里得空间 274

一、欧几里得空间的基本概念 274

二、标准正交基 277

练习题5.1 289

2欧氏空间中的特殊线性变换 291

一、正交变换 291

二、对称变换 299

三、用正交矩阵化实对称矩阵成对角形 309

练习题5.2 316

3酉空间 317

一、酉空间的基本概念 317

二、酉变换、正规变换和厄米特变换 323

练习题5.3 332

第六章 线性变换的若尔当标准形 334

1若尔当标准形理论 334

一、若尔当形的定义 334

二、幂零线性变换的若尔当标准形 335

练习题6.1 342

2一般线性变换的若尔当标准形 343

一、一般线性变换的若尔当标准形 343

二、若尔当标准形的计算方法 344

练习题6.2 360

3最小多项式 361

一、线性变换和矩阵的化零多项式 361

二、线性变换和矩阵的最小多项式 362

练习题6.3 368

第七章 一元多项式环 369

1一元多项式环的基本理论 369

一、一元多项式的概念 369

二、整除理论 371

三、理想的基本概念 372

四、因式分解理论 374

练习题7.1 386

2C，R，Q上多项式的因式分解 387

一、C，R上多项式的素因式标准分解式 387

二、Q上多项式的素因式标准分解式 394

练习题7.2 401

3实系数多项式实根的分布 402

练习题7.3 412

第八章 多元多项式环 413

1多元多项式的基本概念 413

一、多元多项式的定义 413

二、整除性与因式分解 417

练习题8.1 421

2对称多项式 422

一、对称多项式的基本定理 422

二、对称多项式的应用 424

练习题8.2 432

3结式 433

一、结式的概念 433

二、结式的计算法 434

练习题8.3 439

代数学的历史演变 441

部分练习题答案与提示 448