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1.1 复数 1

1.1.1 定义 1

第一章 复变函数 1

1.1.2 加法 2

1.1.3 乘法 3

1.1.4 符号的替换 4

1.1.5 共轭复数 5

1.1.6 复数的幂 6

1.1.7 复数的根 6

1.1.9 复项级数 7

1.1.8 1的根 7

1.1.10 幂级数 8

1.1.11 指数及对数函数 9

1.1.12 对辐角的微分及积分 10

1.1.13 角度成等差级数的三角函数的和 10

1.2 复数计算在正弦电流电路中的应用 11

1.2.1 引言 11

1.2.2 正弦函数的图解表示 12

1.2.3 用复数来表示 13

1.2.4 计算方法的限制 14

1.2.5 复数阻抗的概念 15

1.2.6 克希荷夫定律 17

1.2.7 复数阻抗的串联或并联 18

1.2.8 复数阻抗概念的推广 21

1.2.9 复数矢量 24

1.3 复变函数 26

1.3.1 连续性 26

1.3.2 单值函数 26

1.3.3 解析函数 27

1.3.4 正则（或全纯）函数 29

1.3.5 复变函数的线积分 29

1.3.6 柯西定理 30

1.3.7 柯西公式 31

1.3.8 泰勒级数 32

1.3.9 奇点 33

1.3.10 罗朗级数展开 34

用残数方法求积分 36

1.3.11 残数定理 36

1.3.12 残数计算。简单极点 37

1.3.13 用导数计算多阶极点处的残数 39

1.3.14 约当引理 40

1.3.15 约当引理对单位函数的应用 41

1.3.16 绕支点积分 43

1.3.17 布隆威周线 44

1.3.18 布隆威-瓦格纳积分 45

1.3.19 等效周线 45

1.3.20 定理 49

应用残数计算定积分 51

1.3.21 ∫？f(cosθ,sinΘ)dθ型积分 51

1.3.22 ∫？f(x)dx型积分 52

1.3.23 ∫？f(X)？mxdx型积分 53

1.3.24 ∫？xαf(x)dx型积分 54

1.3.25 应用残数定理求级数和 55

1.4 保角变换 57

1.4.1 定义 57

1.4.2 保角变换的某些例题 63

1.4.3 逐次变换 70

1.4.4 施瓦兹变换 71

1.4.5 保角变换的其他应用 78

第二章 傅里叶级数及傅里叶积分 81

2.1 傅里叶级数 81

2.1.0 引言 81

2.1.1 系数的计数 82

2.1.2 展成正交函数的级数 83

2.1.3 特殊情形 84

2.1.4 积分及导数 85

2.1.5 傅里叶级数展开式限制在前n项的情形 88

2.1.6 在间断点邻域傅里叶级数展开的研究。吉布斯现象 89

2.1.7 区间的推广 91

2.1.8 复数项级数 92

2.1.9 图解表示。谱 94

2.1.10 可展成傅里叶级数的两个同周期函数的乘积的平均值 96

2.1.11 傅里叶级数向殆周期函数的推广 97

2.2.1 傅里叶积分的实数形式 98

2.2 傅里叶积分 98

2.2.2 傅里叶积分的复数形式 101

2.2.3 在电路中的应用 103

2.2.4 无阻尼网络情形 106

2.2.5 频谱 106

2.2.6 亥维赛单位函数 112

2.2.7 函数对 113

2.2.8 傅里叶变换 113

2.2.9 傅里叶积分的物理现实性 117

2.2.10 方向图的研究 119

3.1.1 纯标量 122

标量 122

3.1.2 膺标量 122

第三章 矢量运算 122

3.1 标量、矢量、定义 122

矢量 123

3.1.3 轴 123

3.1.4 旋转方向 123

3.1.5 直向或反向三面角 124

3.1.6 矢量 124

3.1.7 三个矢量？，？，？的正序 126

3.1.8 两个矢量？和？间的角 126

矢量运算 126

3.1.9 矢量？和标量f的乘积 126

3.1.11 矢量加法 127

3.1.10 矢量的分量 127

3.1.12 标量积 128

3.1.13 矢量积 129

3.1.14 三个矢量的混合积 131

3.1.15 三个矢量的二重矢量积 132

3.2 矢量的微分运算 132

导数 132

3.2.1 矢量的导数。点的导数 132

3.2.2 矢量对另一矢量的导数 133

3.2.8 矢量gradf的具体意义 133

3.2.3 导数的主要公式 134

3.2.4 矢量的积分 135

点的函数 136

3.2.5 梯度 136

3.2.6 法向导数 137

3.2.7 位曲面族 137

3.2.9 力线 139

3.2.10 复合标量函数的梯度 139

3.2.11 散度及旋度 140

3.2.12 拉普拉斯算符 140

3.2.13 “倒三角”或“Del”矢量符号 141

3.2.14 常用公式 143

3.2.16 标量位 147

3.2.15 旋度的实际意义 147

3.2.17 特殊情形：通过一个定点的矢量 150

3.2.18 矢量位 151

3.2.19 矢量场的一般情形 153

3.3 矢量积分 154

3.3.1 矢量的环流 154

3.3.2 矢量的通量 154

基本公式 155

3.3.3 奥斯特罗格雷德斯基定理 155

3.3.4 散度的具体意义 157

3.3.7 梯度，散度，旋度函数的不变性 159

3.3.5 梯度的公式 159

3.3.6 旋度的公式 159

3.3.8 格林公式 160

3.3.9 斯托克斯公式 161

电磁场方面的应用 164

3.3.10 电场 164

3.3.11 直流的磁场 166

3.3.12 电磁场 167

3.3.13 法拉第定律 167

3.3.14 安培定律 168

3.3.15 麦克斯韦方程式 169

3.3.16 由电流产生的磁场的矢量位 170

3.4 正交曲线坐标系 173

3.4.1 定义 173

3.4.2 正交曲线坐标中的微分运算 177

一些主要的三维正交曲线坐标系 178

3.4.3 柱面坐标系 178

3.4.4 球面坐标系 179

3.4.5 抛物柱面坐标系 180

3.4.6 回转抛物面坐标系 182

3.4.7 椭圆柱面坐标系 183

3.4.8 长回转椭球坐标系 184

3.4.9 扁回转椭球坐标系 185

3.4.10 双圆柱坐标系 187

3.4.11 圆环坐标系 189

3.4.12 共焦二次曲面坐标系 191

3.4.13 应用于麦克斯韦方程。正交曲线坐标系中的 193

麦克斯韦方程 193

第四章 矩阵计算 194

4.1 矩阵代数 194

4.1.1 平面变换，算符的概念 194

4.1.2 两个算符的和 195

4.1.3 两个算符的积 195

4.1.4 用矩阵表示平面变换 196

4.1.5 两个矩阵的乘积 197

4.1.6 用矩阵来表示矢量 199

4.1.7 推广到n维空间 199

4.1.8 两个矩阵的相等 200

4.1.9 两个矩阵的加法 200

4.1.10 矩阵与数字的乘法 201

4.1.11 矩阵乘法 201

4.1.12 对称矩阵和反对称矩阵 204

4.1.13 三角矩阵 204

4.1.14 对角线矩阵 205

4.1.15 单位矩阵。零矩阵 205

4.1.17 两个矩阵乘积是零的必要条件 206

4.1.16 矩阵的阶及秩 206

4.1.18 转置矩阵 207

4.1.19 矩阵α的逆矩阵 209

4.1.20 应用矩阵解线性方程组 212

4.1.21 坐标变换 214

4.1.22 正交变换 216

4.1.23 正交变换的例子·旋转 217

推广到复数空间 218

4.1.24 厄密特矩阵 218

4.1.25 矩阵α的结合矩阵 218

4.1.26 复数空间中的模及数量积 219

4.1.27 复数空间的正交变换 220

4.1.28 矩阵的特征值，特征方向及特征方程 221

4.1.29 特征方程的性质 222

4.1.30 相应于特征方向的矩阵 223

4.1.31 两个矩阵有交换性的条件 225

4.1.32 厄密特矩阵的特征值及特征方向 225

二次型 227

4.1.33 双线性型 227

4.1.34 二次型 227

4.1.35 确定的正二次型 229

4.1.36 厄密特型 230

矩阵函数 231

4.1.37 矩阵的幂 231

4.1.38 凯莱-哈密顿定理 231

4.1.39 矩阵函数。薛尔凡斯特定理 232

4.1.40 倍葛公式 235

4.1.41 矩阵的升幂 237

4.1.42 矩阵的分数幂 238

4.1.43 矩阵特征值的近似计算 239

4.1.44 n次方程的根的近似计算 244

4.1.46 一阶线性方程组的解 247

4.1.45 矩阵的微分及积分 247

矩阵的微分及在解微分方程中的应用 247

4.1.47 常系数一阶微分方程组 250

4.1.48 n阶线性微分方程 251

4.2 矩阵计算的应用 254

四端网络的研究 254

4.2.1 定义 254

4.2.2 四端网络的链接 257

4.2.3 四端网络的并联 258

4.2.4 四端网络的串联 258

4.2.5 四端网络的串并联或并串联 259

4.2.6 开路阻抗及短路阻抗 261

4.2.7 无源四端网络 262

4.2.8 对称四端网络 263

简单四端网络举例 263

4.2.9 只有一个串联阻抗的四端网络 263

4.2.10 只有一个并联阻抗的四端网络 263

4.2.11 L形四端网络 264

4.2.12 T形及n形四端网络 265

4.2.13 X型滤波器 266

4.2.14 变压器 267

4.2.15 电子管和半导体三极管的情形 267

4.2.16 四端网络的累接阻抗 272

4.2.17 无源四端网络 273

4.2.18 链形滤波器 275

4.2.19 四端网络的通带 278

4.2.20 网络自由振荡的计算—频率的计算 279

4.2.21 周期变参量电路的研究 283

4.2.22 量子力学中的矩阵导论 287

4.3.1 参考文献 290

第五章 张量的基本概念及其应用 291

5.1 张量代数 291

仿射矢量空间。测度空间 291

5.1.1 定义 291

5.1.2 坐标系的变换 292

5.1.3 协变矢量。逆变矢量 295

5.1.4 张量的定义 296

5.1.5 坐标变换公式的矩阵形式 297

5.1.6 无号指标 300

5.1.7 对称及反对称 301

5.1.8 赝标量、标量容量及标量密度 302

5.1.9 张量容量及张量密度 304

5.1.10 三维空间中二阶反对称张量的特殊情况 305

张量运算 307

5.1.11 两个张量加法 307

5.1.12 张量的收缩 307

5.1.14 收缩乘法 308

5.1.13 乘法 308

5.1.15 张量特征的确认 309

5.2 曲线坐标系中的张量 310

5.2.1 曲线坐标的定义。曲线轴。坐标面 310

5.2.2 基本测度张量 312

5.2.3 坐标变换时基本测度张量的行列式g的变换 313

5.2.4 体积元素的表达式 314

5.2.5 三维斜角坐标系 314

5.2.6 正交曲线坐标 315

5.2.7 任意曲线坐标的情形 316

5.2.8 同一矢量的协变或逆变分量 316

5.2.9 张量变性的改变 317

5.2.10 混合基本测度张量 318

5.2.11 直线直角坐标系的情形 318

矢量的协变分量及逆变分量的几何表示 318

5.2.12 直线斜角坐标系的情形 318

5.2.13 曲线坐标的情形 319

5.2.14 正交曲线坐标特殊情形 321

5.3 曲线坐标中的微分算符 322

5.3.1 梯度 322

5.3.2 旋度 322

5.3.4 拉普拉斯算符 323

5.3.3 散度 323

正交曲线坐标的特殊情形 324

5.3.5 梯度 324

5.3.6 旋度 324

5.3.7 散度 325

5.3.8 拉普拉斯算符 325

5.3.9 麦克斯韦方程的张量形式 326

5.4 张量计算在研究电网络中的应用 328

5.4.1 集中参数的网络 328

5.4.2 最一般网络方程的建立方法 331

5.4.3 借导体联通的网络 343

5.4.4 借磁路联通的网络 346

5.4.5 求等效电路的应用 349

5.4.6 由外部供电的网络 353

5.5 在研究各向异性媒质中的应用 357

5.5.1 引言 357

5.5.2 晶体的介电性 357

5.5.3 某些常用坐标系的变换矩阵 359

晶体的力学性质 362

5.5.4 应力 362

5.5.5 形变 362

5.5.7 广义虎克定律 364

5.5.6 热膨胀 364

5.5.8 六维空间的应用 366

5.5.9 杨氏系数 370

压电性质 370

5.5.10 电的极化 370

5.5.11 居里定律 373

5.5.12 石英 374

5.5.13 晶体中弹性波的传播 376

5.5.14 平面波 377

5.6.1 参考文献 379

6.1 一阶微分方程 380

6.1.1 f(x,？)＝0,f(y,？)＝0的形式 380

第六章 微分方程积分法 380

6.1.2 分离变量 381

6.1.3 齐次方程 382

6.1.4 全微分 383

6.1.5 线性方程 384

6.1.6 贝尔努里方程 385

6.1.7 里卡蒂方程 386

6.1.8 拉格朗日方程 386

6.1.9 克莱罗方程 387

6.1.10 具有？＝f？形式的方程 387

6.1.11 一般情形f(x,y,？)＝0 388

6.2．高阶微分方程 389

能降低方程阶数的情形 389

6.2.1 不含函数y的显项的方程 389

6.2.2 不含变量x的显项的方程 390

6.2.3 y的齐次方程 390

6.2.4 变量x的齐次方程 391

6.2.5 x及y的齐次方程 391

6.2.6 x及y的齐次方程，但y对x是k次的 391

n阶线性微分方程 392

6.2.7 引言 392

6.2.8 拉格朗日变参量法 393

6.2.9 柯西方程 395

6.2.10 级数解 396

6.2.11 关于二阶线性微分方程的解的性质的几个定理 402

常系数线性微分方程的解 405

6.2.12 无右端项的微分方程的解 405

6.2.13 重根情形 406

6.2.14 有右端项方程的特解 407

6.2.15 共振情况 410

6.2.16 常系数线性方程组 411

6.3 偏微分方程 412

6.3.1 无右端项常系数线性齐次偏微分方程 412

6.3.2 具有右端项的方程 413

6.3.3 弦振动方程 414

6.3.4 电报方程 416

6.3.5 拉普拉斯方程的普遍形式 417

6.3.6 直角坐标系中的拉普拉斯方程 418

6.3.7 柱面坐标系中的拉普拉斯方程 419

6.3.8 球面坐标系中的拉普拉斯方程 421

6.3.9 椭圆柱面坐标系中的拉普拉斯方程 423

6.3.10 抛物柱面坐标系中的拉普拉斯方程 425

6.3.11 其他坐标系中的拉普拉斯方程 426

6.3.12 泊松方程 428

6.3.13 用布隆威法求麦克斯韦方程的解 430

6.3.14 例题一平行六面体空腔中的电磁振荡 435