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数学文化与数学教育 1

第一章 绪论 2

1关于素质教育 2

2美与真 3

3数学是思维的工具 4

4数学的特点 5

5数学提供了有特色的思考方式 6

6数学教育中的弊病与应对 6

6.1数学教育中的弊病 6

6.2数学教育中的应对 7

7初等数学回顾 8

8学习原则 9

9数学与就业 12

10当前数学科学发展的主要趋势 13

初中文凭，独步中华——华罗庚 14

第二章 数学与人类文明 16

1自然数是万物之母 16

1.1三个层次 16

1.2古希腊的数学 17

2数学与自然科学 18

2.1宇宙的和谐 18

2.2物理学 22

2.3生命的奥秘 23

3数学与人文科学 25

3.1数学与西方宗教 25

3.2数学与西方政治 26

3.3人口论 28

3.4统计方法 29

3.5诺贝尔经济学奖与数学 31

3.6选票分配问题 32

一个叛逆的宇宙设计师——哥白尼 34

风骨超常伦——伽利略 34

宇宙的秩序——开普勒 35

数学与艺术 37

第三章 透视画与射影几何 38

1绘画与透视 38

1.1绘画体系 38

1.2一个标准，两种风格 39

1.3黄金分割 39

1.4希腊的数学精神与裸体艺术 43

1.5新的时代，新的艺术 44

1.6引入第三维 45

1.7郑板桥画竹 46

1.8数学的引入 47

1.9艺术家丢勒 49

1.10数学定理 49

1.11名画挂在什么地方 51

1.12对透视体系的议论 51

1.13完美的结合，艺术的顶峰 52

1.14从艺术中诞生的科学 55

性灵出万象——达·芬奇 56

2射影几何浅窥 57

2.1点列与线束的透视关系 57

2.2椭圆、双曲线和抛物线作为圆周的投影 59

2.3无穷远点的引入 59

2.4射影平面 60

2.5交比 62

2.6调和比 64

2.7含无穷远点的交比 64

2.8四条直线的交比 65

2.9对偶原理 65

2.10三个美妙的定理 66

直觉主义的先驱——帕斯卡 68

第四章 音乐之声与傅里叶分析 69

1音乐——听觉的艺术 69

1.1送往天外的音乐 69

1.2多维艺术 70

2音律的确定 70

2.1乐音体系 70

2.2古希腊音律的确定 71

2.3古代中国对音律的贡献 72

2.4十二平均律 74

3数学与音乐的进一步联系 76

3.1梅森的定律 76

3.2黄金分割与作曲 76

3.3伟大的傅里叶 77

4简谐振动与傅里叶分析 78

4.1简谐振动 78

4.2弹簧的振动 78

4.3傅里叶的定理 81

4.4调幅与调频 84

4.5声学特性与艺术情趣 86

4.6科学与艺术 86

此时无声胜有声——傅里叶 87

数学史 88

第五章 漫步数学史 89

1学点数学发展史 89

1.1为什么要学点数学史？ 89

1.2四个质不同的时期 90

1.3 20世纪以来数学科学发展的主要趋势 93

2数学文明的发样 94

2.1埃及——几何的故乡 94

2.2巴比伦——代数的源头 95

2.3印度——阿拉伯数字的诞生地 97

第六章 现代文明的发源地——希腊 99

1演绎数学的发祥 100

1.1数学精神的诞生 100

1.2泰勒斯的贡献 101

2毕达哥拉斯学派 101

2.1自然数是万物之母 101

2.2毕达哥拉斯学派对数学的主要贡献 102

2.3第一次数学危机 106

2.4第一次数学危机的消除 108

2.5几何作主导 109

3希腊的几何学 110

3.1亚历山大时期 110

3.2欧几里得的《几何原本》 110

3.3正多边形作图 111

3.4五种正多面体 111

3.5多面体与宇宙观 114

3.6圆锥曲线 115

4亚历山大时期的数学 115

4.1数学在新时期的特点——同哲学断了交，同工程结了盟 115

4.2主要数学成果概述 116

5阿基米德的平衡法 119

5.1穷竭法 119

5.2阿基米德的平衡法 119

6柏拉图与亚里士多德论数学 121

6.1赏心而不悦目 122

6.2自然界是一个真实的世界 122

练习题 123

独占鳌头两千年——欧几里得 124

第七章 大哉，中华——中国数学史 125

1两汉时期的数学 126

1.1《周髀算经》与勾股定理 126

1.2《九章算术》 126

2魏晋、南北朝时期的数学 130

2.1刘徽的数学成就 130

2.2百鸡问题 131

2.3祖冲之父子的贡献 132

2.4中国古代的代数 134

3宋元时期的数学 134

3.1贾宪三角和增乘开方法 134

3.2秦九韶与大衍求一术 135

3.3天元术与四元术 136

3.4高阶等差级数与内插法 137

3.5古代数学发展的停滞 139

割圆人间细，方盖宇宙精——刘徽 139

领先世界一千年——祖冲之 140

第八章文艺复兴后的数学 141

1数学的新进展 141

1.1阿拉伯的数学 141

1.2对数的认识 141

1.3符号体系 142

2解析几何 143

2.1笛卡儿的两个概念 143

2.2解析几何的伟大意义 144

2.3解析几何解决的主要问题 145

3微积分的诞生 147

3.1不可分素方法 147

3.2微分学的早期史 149

3.3巴罗的贡献 150

3.4前期史小结 150

3.5微积分的诞生 151

3.6牛顿与莱布尼茨对微积分的贡献 151

3.7微积分诞生的意义 152

3.8牛顿革命 153

3.9决定论的世界观 154

4第二次数学危机 155

4.1英雄世纪 155

4.2第二次数学危机 155

4.3柯西的功绩 157

4.4外尔斯特拉斯的规划 157

我站在巨人们的肩上——牛顿 159

微积分的创始者，数理逻辑的奠基人——莱布尼茨 160

数学分析的奠基人——柯西 161

大器晚成——外尔斯特拉斯 161

第九章 来自几何学的思想 163

1欧氏几何回顾 163

1.1欧氏几何的历史地位 163

1.2几何学在数学教育中的地位 163

1.3演绎法的基本特色 164

1.4欧氏几何的内容 165

1.5几何学的进一步发展 166

2非欧几何 168

2.1非欧几里得几何的诞生 168

2.2黎曼的非欧几何 169

2.3从宇宙飞船上看地球 169

2.4球面几何 170

2.5双曲几何的模型 170

3几何学的分类 172

3.1三种几何学的异同 172

3.2非欧几何诞生的意义 173

3.3爱尔兰根纲领 174

3.4老子的哲学 174

几何学中的哥白尼——罗巴切夫斯基 175

深邃的几何学家——B.黎曼 176

数学方法论 177

第十章 几何三大难题 178

1问题的提出和解决 178

1.1数学的心脏 178

1.2希腊古典时期数学发展的路线 178

1.3几何作图三大问题 179

1.4问题的来源 179

1.5“规”和“矩”的规矩 179

1.6问题的解决 180

2放弃“规矩”之后 180

2.1帕普斯的方法 180

2.2阿基米德的方法 181

2.3时钟也会三等分任意角 182

2.4达·芬奇的化圆为方 182

3从几何到代数 182

3.1用直尺圆规可以作什么图 182

3.2域的定义 184

3.3可构造数域 185

3.4进一步的讨论 186

3.5可作图的数都是代数数 188

4几个代数定理 188

4.1根与系数的关系 188

4.2 3次方程的根 190

5几何作图三大问题的解 192

5.1倍积问题 192

5.2三等分任意角 192

5.3化圆为方 193

练习题 193

第十一章 数学方法漫谈（1） 194

1演绎法 194

2类比法 195

2.1描述 196

2.2说理 196

2.3发现新定理 197

2.4蘑菇是丛生的 201

2.5类比推理与人工智能 201

3归纳与数学归纳法 201

3.1归纳与数学归纳法 201

3.2等周定理的证明 204

3.3归纳思维的新进展 206

练习题 206

分析的化身——欧拉 207

第十二章 数学方法漫谈（2） 209

1笛卡儿的研究方法 209

1.1笛卡儿的方法论 209

1.2如何化繁为简 210

1.3特殊化与一般化 210

1.4更上一层楼 212

1.5猜测 213

1.6类比是认识高维空间的必由之路 214

2孙子定理与插值理论 214

2.1孙子定理 214

2.2插值理论 218

2.3求和公式 219

3小结 219

一宵奇梦定终生——笛卡儿 220

学好微积分 222

第十三章 实数理论 224

1有理数 224

1.1有序性 224

1.2有理数的稠密性 224

1.3对四则运算的封闭性 225

1.4有理数系对极限运算不封闭 225

2实数理论 227

2.1微积分立论的基础 227

2.2戴德金分划 228

2.3实数的性质 229

2.4实数集合的有序化 230

2.5实数集合的连续性 231

2.6确界定理 232

第十四章 极限论 233

1极限定义及运算 233

1.1序列的极限 233

1.2序列极限的四则运算 234

2两个重要定理 235

2.1区间套定理 235

2.2有限覆盖定理 235

3收敛原理 236

3.1子序列 236

3.2收敛原理 237

第十五章 函数及其连续性 239

1基本概念 239

1.1函数定义 239

1.2单调函数 239

1.3反函数 240

2初等函数 241

2.1基本初等函数 241

2.2复合函数与初等函数 245

2.3函数概念发展史 245

3函数的连续性 246

3.1函数的极限 246

3.2单边极限 247

3.3连续函数 248

3.4连续函数的最大值、最小值定理 248

3.5函数的一致连续性 250

3.6反函数的连续性 252

第十六章 微分学 253

1导数的引入 253

1.1切线斜率 253

1.2瞬时速度 254

1.3导数概念 254

1.4可导与连续 255

2导数的计算 256

2.1导数的四则运算 256

2.2链锁法则 256

2.3高阶导数 256

2.4基本初等函数求导公式 257

3基本定理 257

3.1函数的局部极值 257

3.2拉格朗日中值定理 259

4微分 260

4.1微分定义 261

4.2微分公式 261

4.3基本初等函数微分表 262

4.4微分的应用 262

4.5论导数与微分 263

第十七章 积分学 265

1不定积分 265

1.1基本概念 265

1.2不定积分的运算法则 266

1.3基本初等函数的不定积分表 267

1.4第一换元积分法 267

1.5第二换元积分法 268

1.6分部积分法 269

2定积分 270

2.1面积问题 270

2.2作为和的极限的面积 271

2.3定积分的定义 272

2.4定积分的几何意义 273

3定积分的性质 274

3.1定积分的简单性质 274

3.2定积分中值定理 275

4可积性研究 276

4.1可积性的必要条件 276

4.2达布和 276

4.3达布和的简单性质 277

4.4积分存在的条件 278

4.5定积分存在定理 278

5微积分基本定理 279

6定积分的换元积分法与分部积分法 281

6.1换元积分法 281

6.2分部积分法 282

7再论微分学与积分学 282

7.1微分学 282

7.2积分学 283

第十八章 回顾与展望 285

1第三次数学危机 285

1.1对数学基础的探讨 285

1.2什么是悖论？ 285

1.3悖论与艺术 286

2数学基础 287

2.1逻辑主义 287

2.2直觉主义 288

2.3形式主义 288

3哥德尔的不完全性定理 289

4新的黄金时代 290

5数学家及其活动与数学社团的成立 291

5.1数学家及其活动 291

5.2数学社团的成立 292

6两个大奖：菲尔兹奖和沃尔夫奖 293

6.1菲尔兹奖 293

6.2沃尔夫奖 295

7希尔伯特问题与20世纪的数学 295

8七加一数学奖问题 296

8.1克莱数学促进会 296

8.2千禧年悬赏数学问题简介 297

8.3另一个价值百万的数学之谜 297

自在如神之笔，凌云迈往之气——庞加莱 298

永远的不完全——哥德尔 299

参考书目 300