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什么是数学 1

第1章 自然数 6

引言 6

1 整数的计算 7

1.算术的规律 7

2.整数的表示 10

3.非十进位制中的计算 13

2 数系的无限性 数学归纳法 15

1.数学归纳法原理 15

2.等差级数 18

3.等比级数 19

4.前n项平方和 21

5.一个重要的不等式 22

6.二项式定理 23

7.再谈数学归纳法 26

第1章 补充 数论 29

引言 29

1 素数 29

1.基本事实 29

2.素数的分布 34

2 同余 41

1.一般概念 41

2.费马定理 46

3.二次剩余 48

3 毕达哥拉斯数和费马大定理 50

4 欧几里得辗转相除法 53

1.一般理论 53

2.在算术基本定理上的应用 58

3.欧拉函数？ 再谈费马定理 59

4.连分数 丢番都方程 61

第2章 数学中的数系 64

引言 64

1 有理数 64

1.作为度量工具的有理数 64

2.数学内部对有理数的需要 推广的原则 67

3.有理数的几何解释 69

2 不可公度线段 无理数和极限概念 71

1.引言 71

2.十进位小数 无限小数 74

3.极限 无穷等比级数 76

4.有理数和循环小数 80

5.用区间套给出无理数的一般定义 82

6.定义无理数的另一个方法 戴特金分割 85

3 解析几何概述 86

1.基本原理 86

2.直线方程和曲线方程 88

4 无限的数学分析 91

1.基本概念 91

2.有理数的可数性和连续统的不可数性 93

3.康托的“基数” 97

4.反证法 100

5.有关无限的悖论 101

6.数学的基础 102

5 复数 103

1.复数的起源 103

2.复数的几何解释 107

3.棣莫弗公式和单位根 112

4.代数基本定理 115

6 代数数和超越数 118

1.定义和存在性 118

2.柳维尔定理和超越数的构造 119

第2章 补充 集合代数 124

1.一般理论 124

2.在数理逻辑中的应用 129

3.在概率论中的一个应用 130

第3章 几何作图 数域的代数 134

引言 134

第1部分 不可能性的证明和代数 138

1 基本几何作图 138

1.域的构作和开平方根 138

2.正多边形 140

3.阿波罗尼斯问题 143

2 可作图的数和数域 145

1.一般理论 145

2.可作图的数都是代数数 152

3 三个不可解的希腊问题 153

1.倍立方体问题 153

2.关于三次方程的一个定理 155

3.三等分任意角 157

4.正七边形 159

5.关于化圆为方的问题 160

第2部分 作图的各种方法 161

4 几何变换 反演 161

1.一般说明 161

2.反演的性质 162

3.反演点的几何作图 164

4.只用圆规如何二等分一线段及求圆心 165

5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图 166

1.倍立方体的古典作图 166

2.只限于用圆规 167

3.用机械工具作图 机械曲线 旋轮线 172

4.连杆 波西里叶和哈特的反演器 174

6 再谈反演及其应用 176

1.角的不变性 圆族 176

2.在阿波罗尼斯问题上的应用 179

3.重复反射 180

第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何 182

1 引言 182

1.几何性质的分类 变换下的不变性 182

2.射影变换 184

2 基本概念 185

1.射影变换群 185

2.笛沙格定理 186

3 交比 188

1.定义和不变性的证明 188

2.在完全四边形上的应用 193

4 平行性和无穷远 195

1.作为“理想点”的无穷远点 195

2.理想元素和射影 197

3.含有无穷远元素的交比 199

5 应用 200

1.初步说明 200

2.平面上笛沙格定理的证明 201

3.巴斯嘉定理 202

4.布利安桑定理 203

5.对偶性简介 204

6 解析表示 205

1.初步说明 205

2.齐次坐标 对偶性的代数基础 206

7 只用直尺的作图问题 210

8 二次曲线和二次曲面 212

1.二次曲线的初等度量几何 212

2.二次曲线的射影性质 215

3.二次曲线看作线曲线 218

4.关于二次曲线的巴斯嘉和布利安桑的一般定理 221

5.双曲面 223

9 公理体系和非欧几何 224

1.公理方法 224

2.双曲非欧几里得几何 228

3.几何与现实 232

4.庞加莱的模型 233

5.椭圆几何或黎曼几何 234

附录 高维空间中的几何学 236

1.引言 236

2.解析的方法 236

3.几何的方法或组合的方法 239

第5章 拓扑学 243

引言 243

1 多面体的欧拉公式 244

2 图形的拓扑性质 248

1.拓扑性质 248

2.连通性 251

3 拓扑定理的其他例子 252

1.若当曲线定理 252

2.四色问题 253

3.维的概念 255

4.不动点定理 258

5.纽结 262

4 曲面的拓扑分类 263

1.曲面的亏格 263

2.曲面的欧拉示性数 265

3.单侧曲面 266

附录 270

1.五色定理 270

2.多边形的若当曲线定理 273

3.代数基本定理 275

第6章 函数和极限 278

引言 278

1 变量和函数 279

1.定义和例子 279

2.角的弧度制 284

3.函数的图像 反函数 285

4.复合函数 288

5.连续性 290

6.多元函数 292

7.函数和变换 295

2 极限 296

1.序列an的极限 296

2.单调序列 302

3.欧拉数e 305

4.数π 307

5.连分数 309

3 连续趋近的极限 312

1.引言 一般定义 312

2.极限概念的评述 314

3.sin x/x的极限 316

4.当x→∞时的极限 318

4 连续性的精确定义 320

5 有关连续函数的两个基本定理 323

1.布尔查诺定理 323

2.布尔查诺定理的证明 323

3.维尔斯特拉斯极值定理 324

4.有关序列的一个定理 紧致集 326

6 布尔查诺定理的一些应用 328

1.几何上的应用 328

2.力学问题上的一个应用 330

第6章 补充 极限和连续的一些例题 333

1 极限的例题 333

1.一般说明 333

2.qn的极限 334

3.n？p的极限 335

4.不连续函数当作连续函数的极限 337

5.极限的叠代求法 338

2 连续性的例题 340

第7章 极大与极小 342

引言 342

1 初等几何中的问题 343

1.两边给定求面积极大的三角形 343

2.赫伦定理光线的极值性质 343

3.三角形问题上的应用 345

4.椭圆和双曲线的切线性质 相应的极值性质 346

5.到给定曲线的距离的极值 349

2 基本极值问题的一般原则 351

1.原则 351

2.例题 352

3 驻点与微分学 354

1.极值和驻点 354

2.多元函数的极大和极小鞍点 355

3.极小极大点和拓扑学 356

4.点到曲面的距离 357

4 施瓦茨的三角形问题 358

1.施瓦茨的证明 358

2.另一种证法 360

3.钝角三角形 362

4.由光线形成的三角形 363

5.有关反射和遍历运动的说明 364

5 施泰纳问题 365

1.问题及解答 365

2.两种不同情况的分析 367

3.一个补充问题 368

4.说明与习题 369

5.推广到道路网问题 370

6 极值与不等式 371

1.两个正量的算术平均和几何平均 372

2.推广到n个变量 373

3.最小二乘法 375

7 极值的存在性 狄里赫莱原理 377

1.一般说明 377

2.例题 379

3.初等极值问题 381

4.比较复杂情形中所存在的困难 382

8 等周问题 383

9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系 386

10 变分法 389

1.引言 389

2.变分法 费马光学原理 390

3.贝努利对捷线问题的处理 392

4.球面上的测地线与极大-极小 394

11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验 395

1.引言 395

2.肥皂膜实验 396

3.普拉图问题的几种新实验 397

4.其他数学问题的实验解法 400

第8章 微积分 405

引言 405

1 积分 407

1.面积看作是一个极限 407

2.积分 408

3.积分概念的一般说明 一般定义 412

4.积分举例xr的积分 413

5.“积分运算”的法则 419

2 导数 423

1.把导数看作是斜率 423

2.导数看作是一极限 424

3.例题 427

4.三角函数的导数 431

5.可微性和连续性 432

6.导数和速度 二阶导数和加速度 432

7.二阶导数的几何意义 436

8.极大与极小 437

3 微分法 438

4 莱布尼茨的记号和“无穷小” 445

5 微积分基本定理 448

1.基本定理 448

2.初步应用xr，cos x，sin x，arctan x的积分 451

3.表示的莱布尼茨公式 453

6 指数函数与对数函数 455

1.对数的定义和性质 欧拉数e 456

2.指数函数 459

3.ex，ax，xs的微分公式 461

4.用极限表示e，ex和ln x的表达式 463

5.对数的无穷级数展开式 数值计算 466

7 微分方程 470

1.定义 470

2.指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率 复利 471

3.其他例题 简谐振动 474

4.牛顿动力学定律 476

第8章 补充 479

1 原理方面的内容 479

1.可微性 479

2.积分 482

3.积分概念的另一些应用 功 弧长 483

2 数量级 486

1.指数函数和x的幂 486

2.ln（n！）的数量级 489

3 无穷级数和无穷乘积 490

1.函数的无穷级数 490

2.欧拉公式cos x+i sin x=eix 496

3.调和级数和Zeta函数 正弦的欧拉乘积 499

4 用统计方法得到素数定理 503

第9章 最新进展 508

1产生素数的公式 508

2哥德巴赫猜想和孪生素数 510

3费马大定理 512

4连续统假设 516

5集合论中的符号 516

6四色定理 517

7豪斯道夫维数和分形 521

8纽结 525

9力学中的一个问题 528

10施泰纳问题 530

11肥皂膜和最小曲面 536

12非标准分析 539

附录 补充说明 问题和习题 545

算术和代数 545

解析几何 547

几何作图 554

射影几何和非欧几何 555

拓扑学 556

函数、极限和连续性 559

极大与极小 560

微积分 563

积分法 565

参考书目1 573

参考书目2（推荐阅读） 578