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目 录第八章 多元函数微分法及其应用 1

第一节多元函数的基本概念 1

一、多元函数概念（1） 二、二元函数的极限（5） 三、二元函数的连续性（8） 习题8-1 11

第二节偏导数 12

一、偏导数的定义及其计算法（12） 二、高阶偏导数 16

习题8-2 19

第三节全微分及其应用 20

一、全微分的定义（20） *二、全微分在近似计算中的应用 24

习题8-3 27

第四节多元复合函数的求导法则 28

习题8-4 33

第五节隐函数的求导公式 34

一、一个方程的情形（34）*二、方程组的情形（37）习题8-5 40

第六节偏导数的几何应用 41

一、空间曲线的切线与法平面（41） 二、曲面的切平面与法线 45

习题8-6 48

第七节方向导数与梯度 49

一、方向导数（49）*二、梯度（51）习题8-7 56

第八节多元函数的极值及其求法 56

一、多元函数的极值及最大值、最小值（56）二、条件极值拉格朗日乘数法（62）习题8-8 65

第九节二元函数的泰勒公式 66

一、二元函数的泰勒公式（66） *二、极值充分条件的证明 71

习题8-9 73

*第十节最小二乘法 73

习题8-10 80

第一节二重积分的概念与性质 81

第九章重积分 81

一、二重积分的概念（81）二、二重积分的性质（85）习题9-1 87

第二节二重积分的计算法 88

一、利用直角坐标计算二重积分（88）习题9-2（1）（96）二、利用极坐标计算二重积分（98） 习题9-2（2）（104） *三、二重积分的换元法（106） *习题9-2（3） 111

第三节二重积分的应用 112

一、曲面的面积（113） 二、平面薄片的重心（116） 三、平面薄片的转动惯量（118） 习题9-3 119

第四节三重积分的概念及其计算法 120

习题9-4 124

第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 125

一、利用柱面坐标计算三重积分（125） 二、利用球面坐标计算三重积分（127） 习题9-5 132

*第六节含参变量的积分 133

*习题9-6 140

第一节曲线积分的概念与性质 141

第十章曲线积分与曲面积分 141

一、对弧长的曲线积分的概念（141） 二、对坐标的曲线积分的概念（143）三、曲线积分的性质（146） 习题10-1 147

第二节曲线积分的计算法 148

一、对弧长的曲线积分的计算法（148） 二、对坐标的曲线积分的计算法（152） 三、两类曲线积分之间的联系（157） 习题10-2 159

第三节格林公式及其应用 161

一、格林公式（161） 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 164

三、二元函数的全微分求积（167） 习题10-3 171

第四节曲面积分的概念与性质 173

一、对面积的曲面积分（173） 二、对坐标的曲面积分（174） 三、曲面积分的性质（179） 习题10-4 179

第五节曲面积分的计算法 180

一、对面积的曲面积分的计算法（180） 二、对坐标的曲面积分的计算法（184） 三、两类曲面积分之间的联系（186） 习题10-5 187

*第六节高斯公式通量与散度 189

一、高斯公式（189） 二、 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 193

三、通量与散度（194）*习题10-6 197

*第七节斯托克斯公式环流量与旋度 198

一、斯托克斯公式（198） 二、空间曲线积分与路径无关的条件 202

三、环流量与旋度（203）*习题10-7 206

第十一章无穷级数 207

第一节常数项级数的概念和性质 207

一、常数项级数的概念（207） 二、无穷级数的基本性质（21）三、级数收敛的必要条件（213） *四、柯西审敛原理（214） 习题11-1 215

第二节常数项级数的审敛法 217

一、正项级数及其审敛法（217） 二、交错级数及其审敛法 224

三、绝对收敛与条件收敛（225） 习题11-2 231

*第三节广义积分的审敛法Γ－函数 232

一、广义积分的审敛法（232） 二、Γ′函数（238） *习题11-3 240

第四节幂级数 241

一、函数项级数的一般概念（241） 二、幂级数及其收敛性 242

三、幂级数的运算（247） 习题11-4 250

第五节函数展开成幂级数 251

第六节函数的幂级数展开式的应用 260

一、泰勒级数（251）二、函数展开成幂级数（253） 习题11-5 260

一、近似计算（260）二、欧拉公式（265） 习题11-6 267

*第七节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 268

一、函数项级数的一致收敛性（268） 二、一致收敛级数的基本性质 272

*习题11-7 277

第八节傅立叶级数 278

一、三角级数三角函数系的正交性（278）二、函数展开成傅立叶级数（281） 习题11-8 289

第九节正弦级数和余弦级数 289

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数（289） 二、函数展开成正弦级数或余弦级数（294） 习题11-9 296

第十节周期为2l的周期函数的傅立叶级数 296

习题11-10 300

*第十一节傅立叶级数的复数形式 300

*习题11-11 303

第一节微分方程的基本概念 305

第十二章微分方程 305

习题12-1 310

第二节可分离变量的微分方程 311

习题12-2 318

第三节齐次方程 319

一、齐次方程（319）*二、可化为齐次的方程（323） 习题12-3 325

第四节一阶线性微分方程 326

一、线性方程（326）二、贝努利方程（330） 习题12-4 331

第五节全微分方程 332

习题12-5 335

*第六节欧拉－柯西近似法 336

*习题12-6 339

第七节可降阶的高阶微分方程 340

一、y(n)-f(x)型的微分方程（340） 二、y″=f(x,y′)型的微分方程（342） 三、y″-f(y,y′)型的微分方程（346） 习题12-7 349

第八节高阶线性微分方程及其解的结构 350

一、二阶线性微分方程举例（350）二、线性微分方程的解的结构 353

习题12-8 356

第九节二阶常系数齐次线性微分方程 357

习题12-9 367

第十节二阶常系数非齐次线性微分方程 368

一、f(x)=eλxPm(x)型（369） 二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型（372） 习题12-10 376

*第十一节欧拉方程 377

*习题12-11 379

*第十二节微分方程的幂级数解法举例 379

*习题12-12 384

*第十三节常系数线性微分方程组解法举例 384

*习题12-13 387