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第一章 函数、极限、连续 1

§1 函数 1

一、常量与变量 1

二、函数概念 2

三、复合函数与反函数 4

四、函数的几种特性 6

五、初等函数 7

六、双曲函数 9

习题1—1 11

§2 极限 12

一、数列的极限 12

二、函数的极限 15

三、无穷小量和无穷大量 18

四、极限的四则运算法则及其简单性质 20

五、极限存在准则与两个重要极限 22

习题1—2 26

§3 函数的连续与间断 27

一、函数的连续性 27

二、函数的间断点 29

三、初等函数的连续性 30

四、无穷小量的比较 33

五、闭区间上连续函数的性质 34

习题1—3 35

总习题一 36

第二章 导数与微分 38

§1 导数概念 38

一、实例 38

二、导数的定义 39

三、求导数举例 40

四、导数的几何意义 42

五、可导性与连续性的关系 43

习题2—1 44

§2 初等函数的导数及求导法则 44

一、函数的和、差、积、商的求导法则 44

二、反函数的导数 47

习题2—2(1) 47

三、复合函数的导数 48

习题2—2(2) 53

四、隐函数的导数 53

五、参数方程所确定的函数的导数 55

习题2—2(3) 56

§3 高阶导数 57

习题2—3 61

§4 函数的微分 62

一、微分的概念 62

二、微分的几何意义 63

三、微分公式与微分法则 64

四、微分在近似计算中的应用 66

习题2—4 67

总习题二 67

第三章 中值定理与导数的应用 70

§1 中值定理 70

一、罗尔定理 70

二、拉格朗日中值定理 71

三、柯西中值定理 73

习题3—1 74

§2 罗必塔法则 74

习题3—2 78

§3 泰勒公式 79

习题3—3 83

§4 函数单调性的判别法 84

习题3—4 87

§5 函数的极值及其求法 87

习题3—5 90

§6 最大值、最小值问题 91

习题3—6 94

§7 曲线的凹凸与拐点 95

习题3—7 97

§8 曲线的渐近线和函数作图 98

§9 曲率 101

一、弧微分 101

习题3—8 101

二、曲率的定义及计算公式 102

三、曲率圆、曲率半径和曲率中心 105

习题3—9 106

§10 方程的近似解 106

一、二分法 106

二、切线法 107

习题3—10 109

总习题三 110

第四章 不定积分 111

§1 原函数与不定积分的概念 111

一、原函数 111

二、不定积分的概念 112

三、不定积分的性质 113

四、基本积分公式 113

习题4—1 115

§2 换元积分法 116

一、第一换元法 116

二、第二换元法 122

习题4—2 126

§3 分部积分法 127

习题4—3 131

§4 几种函数类型的积分法 132

一、有理函数的积分 132

二、三角函数有理式的积分 137

三、某些无理函数的积分 139

习题4—4 140

总习题四 141

第五章 定积分 142

§1 定积分的概念 142

一、引例 142

二、定积分的定义 144

三、定积分存在的条件 145

四、定积分的几何意义 145

习题5—1 147

§2 定积分的性质 147

一、变上限积分及其导数 149

§3 微积分学基本公式 149

习题5—2 149

二、原函数存在定理 151

三、牛顿—莱布尼兹公式与积分中值定理 152

习题5—3 154

§4 定积分的换元法和分部积分法 155

一、定积分的换元法 155

二、定积分的分部积分法 157

习题5—4 159

§5 定积分的近似计算 160

一、梯形法 160

二、抛物线法 161

§6 广义积分 163

习题5—5 163

一、无穷区间上的广义积分 164

二、无界函数的广义积分 165

习题5—6 167

总习题五 167

第六章 定积分的应用 170

§1 平面图形的面积 171

一、直角坐标系下的面积 171

二、极坐标系下的面积 172

习题6—1 174

§2 体积 175

一、平行截面面积为已知的立体体积 175

习题6—2 176

二、旋转体的体积 176

§3 平面曲线的弧长 177

习题6—3 179

§4 定积分在物理上的应用 180

一、变力沿直线所作的功 180

二、从容器中抽出液体所作的功 181

三、静止液体的压力 182

四、细棒对质点的引力 183

习题6—4 184

总习题六 185

二、向量的线性运算 186

一、向量的概念 186

§1 向量的概念及其线性运算 186

第七章 向量代数与空间解析几何 186

习题7—1 189

§2 向量在轴上的投影与投影定理 189

一、两向量的夹角 189

二、在轴上的有向线段的值 189

三、向量在轴上的投影与分量 190

四、投影定理 190

习题7—2 191

§3 向量与向量的乘法 191

一、两向量的数量积 191

二、两向量的向量积 192

三、三向量的混合积 194

习题7—3 195

§4 向量的坐标 196

一、空间直角坐标系 196

二、空间点的坐标 197

三、向径及其坐标 197

四、向量的坐标 198

习题7—4 199

§5 向量的代数运算 199

一、向量的模和方向余弦的坐标表示式 199

二、用坐标进行向量的线性运算 201

三、用坐标进行向量与向量的乘法运算 201

§6 平面与直线 204

习题7—5 204

一、平面 205

二、直线 208

三、直线与平面的关系 211

习题7—6 213

§7 几种常见曲面 213

一、球面 214

二、柱面 214

三、锥面 216

四、旋转面 216

一、空间曲线的一般方程 218

§8 空间曲线 218

习题7—7 218

二、空间曲线的参数方程 219

三、空间曲线在坐标面上的投影 220

习题7—8 221

§9 二次曲面 221

一、二次曲面概述 221

二、几种标准二次曲面 222

习题7—9 225

总习题七 225

附录 积分表 227

习题答案 234