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第1章 引论 1

§1．1计算方法的主要内容 1

§1．2 误差的基本概念 3

1．2．1 误差的来源 3

1．2．2 误差、误差限、相对误差和有效数字 5

1．2．3 有效数字与相对误差限的关系 8

1．2．4 算术运算的误差及误差限 9

§1．3 在近似计算中应注意的一些原则 11

1．3．1 遵循的法则 11

1．3．2 注意的问题 12

小结 14

习题 14

第2章 插值方法与曲线拟合 15

§2．1 插值多项式的存在惟一性 15

§2．2 Lagrange插值 16

2．2．1线性插值 16

2．2．2 抛物插值 17

2．2．3 Lagrange插值公式 18

2．2．4 插值余项 19

§2．3 Newton插值 23

2．3．1 基函数 23

2．3．2 差商的概念 24

2．3．3 差商的性质 24

2．3．4 Newton插值公式 27

§2．4 Hermite插值 28

§2．5 分段插值 34

2．5．1 高次插值的Runge现象 34

2．5．2 分段插值的概念 35

2．5．3 分段线性插值 36

2．5．4 分段三次Hermite插值 38

§2．6 三次样条插值 40

§2．7 曲线拟合的最小二乘法 44

2．7．1 直线拟合 45

2．7．2 多项式拟合 46

2．7．3 其他函数曲线拟合 48

小结 51

习题 52

第3章 数值积分和数值微分 55

§3．1 数值积分 55

3．1．1 机械求积公式和代数精度 55

3．1．2 求积公式的构造方法 60

3．1．3 Newton-Cotes求积公式 64

3．1．4 复化求积法 68

3．1．5 Romberg求积公式及算法 71

§3．2 数值微分 77

3．2．1 差商型数值微分 77

3．2．2 插值型数值微分 77

3．2．3 样条插值型数值微分 79

3．2．4 Richardson外推型数值微分 80

习题 82

小结 82

第4章 常微分方程数值解法 84

§4．1尤拉法、隐式尤拉法和二步尤拉法 84

4．1．1 尤拉法 85

4．1．2 隐式尤拉法和二步尤拉法 86

4．1．3 局部截断误差与精度 88

§4．2 改进的尤拉法 89

4．2．1 梯形公式 90

4．2．2 改进的尤拉法 91

§4．3 龙格-库塔法 96

4．3．1 龙格-库塔法的基本思想 96

4．3．2 二阶龙格-库塔方法 96

4．3．3 高阶龙格-库塔法 99

4．3．4 变步长龙格-库塔法 102

§4．4 收敛性与稳定性 103

4．4．1 收敛法 103

4．4．2 稳定性 107

4．5．1 一阶方程组 109

§4．5 一阶方程组及高阶方程 109

4．5．2 高阶方程的初值问题 110

§4．6 边值问题的数值解法 112

小结 115

习题 116

第5章 方程求根 118

§5．1 根的隔离与二分法 118

5．1．1 根的隔离 118

5．1．2 二分法 120

§5．2 迭代法及其收敛性 122

5．2．1 迭代法的基本概念 122

5．2．2 迭代过程的收敛性 124

§5．3 收敛速度及收敛过程的加速 130

5．3．1 迭代的收敛速度 130

5．3．2 收敛过程的加速 132

5．4．1 牛顿法的构造及牛顿迭代公式 136

§5．4 牛顿法 136

5．4．2 牛顿法的收敛性和收敛速度 137

5．4．3 初始值的选取 140

5．4．4 牛顿下山法 142

§5．5 近似牛顿法 144

5．5．1 简化牛顿法 144

5．5．2 弦截法 144

5．5．3 快速弦截法 146

5．5．4 抛物线法 148

小结 151

习题 152

第6章 线性方程组的数值解法 153

§6．1 解线性方程组的直接法 153

6．1．1 Gauss消去法 153

6．1．2 列主元消去法 156

6．1．3 矩阵的三角分解 157

6．1．4 追赶法 163

6．1．5 平方根法 167

6．1．6 向量和矩阵的范数 170

§6．2 解线性方程组的迭代法 179

§6．3 简单迭代法 181

小结 189

习题 189

第7章 计算实习 192

§7．1 插值方法 192

7．1．1 Lagrange插值法 192

7．1．2 Newton插值法 194

§7．2 曲线拟合（最小二乘法） 197

§7．3 数值积分 199

7．3．1 复化梯形法 199

7．3．2 复化Simpson法 201

7．3．3 自动变步长梯形法 203

7．3．4 Romberg公式 205

7．4．1 改进的尤拉法 209

§7．4 常微分方程数值解法 209

7．4．2 四阶龙格-库塔法 211

7．4．3 亚当姆斯预测-校正系统 214

§7．5 方程求根 219

7．5．1 二分法 219

7．5．2 牛顿法 225

§7．6 线性方程组的解法 230

7．6．1 消去法 230

7．6．2 列主元消去法 234

7．6．3 直接三角分解法 241

7．6．4 改进的平方根法 247

7．6．5 追赶法 249

7．6．6 Jacobi迭代法 251

7．6．7 Gauss-Seidel迭代法 253

实习题 256

部分习题答案 259

参考文献 263