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第1章 绪论 1

1.1基本概念 1

1.1.1定义与例子 1

1.1.2叠加原理 3

1.2定解问题 5

1.2.1定解条件与定解问题 5

1.2.2定解问题的适定性 6

1.3二阶半线性方程的分类与标准型 7

1.3.1多个自变量的方程 8

1.3.2两个自变量的方程 10

1.3.3方程化为标准型 13

习题1 18

第2章 一阶拟线性方程 22

2.1一般理论 22

2.1.1特征曲线与积分曲面 22

2.1.2初值问题 24

2.1.3例题 27

2.2传输方程 32

2.2.1齐次方程的初值问题行波解 33

2.2.2非齐次传输方程 34

习题2 35

第3章 波动方程 36

3.1一维波动方程的初值问题 37

3.1.1 d’Alembert公式反射法 37

3.1.2依赖区域决定区域影响区域 40

3.1.3初值问题的弱解 41

3.2一维波动方程的初边值问题 42

3.2.1齐次方程 特征线法 43

3.2.2齐次方程分离变量法 45

3.2.3非齐次方程特征函数展开法 48

3.3 Sturm-Liouville特征值问题 51

3.3.1特征函数的性质 53

3.3.2特征值与特征函数的存在性 54

3.3.3特征函数系的完备性 58

3.4高维波动方程的初值问题 66

3.4.1球面平均法Kirchhoff公式 66

3.4.2降维法Poisson公式 70

3.4.3非齐次方程Duhamel原理 72

3.4.4 Huygens原理波的弥散 74

3.5能量法解的唯一性与稳定性 76

3.5.1能量等式初边值问题解的唯一性 77

3.5.2能量不等式初边值问题解的稳定性 78

3.5.3初值问题解的唯一性 81

习题3 83

第4章 热传导方程 91

4.1初值问题 92

4.1.1 Fourier变换及其性质 93

4.1.2解初值问题 95

4.1.3解的存在性 97

4.2最大值原理及其应用 100

4.2.1最大值原理 100

4.2.2初边值问题解的唯一性与稳定性 101

4.2.3初值问题解的唯一性与稳定性 102

4.2.4例题 104

4.3强最大值原理 110

习题4 114

第5章 位势方程 120

5.1基本解 120

5.1.1基本解Green公式 121

5.1.2平均值等式 123

5.1.3最大最小值原理及其应用 124

5.2 Green函数 127

5.2.1 Green函数的导出及其性质 127

5.2.2球上的Green函数Poisson积分公式 129

5.2.3上半空间上的Green函数 132

5.2.4球上Dirichlet问题解的存在性 133

5.2.5能量法 136

5.3调和函数的基本性质 137

5.3.1逆平均值性质 137

5.3.2 Harnack不等式 138

5.3.3 Liouville定理 139

5.3.4奇点可去性定理 140

5.3.5正则性 140

5.3.6微商的局部估计 142

5.3.7解析性 143

5.3.8例题 144

5.4 Hopf最大值原理及其应用 149

5.4.1 Hopf最大值原理 149

5.4.2应用 151

5.5位势方程的弱解 152

5.5.1伴随微分算子与伴随边值问题 152

5.5.2弱微商及其简单性质 154

5.5.3 Sobolev空间H1（Ω）与H1o（Ω） 158

5.5.4弱解的存在唯一性 160

习题5 163

第6章 变分法与边值问题 169

6.1边值问题与算子方程 169

6.1.1薄膜的横振动与最小位能原理 169

6.1.2正算子与算子方程 170

6.1.3正定算子弱解存在性 174

6.2 Laplace算子的特征值问题 180

6.2.1特征值与特征函数的存在性 180

6.2.2特征值与特征函数的性质 184

习题6 186

第7章 特征理论偏微分方程组 189

7.1方程的特征理论 189

7.1.1弱间断解与弱间断面 189

7.1.2特征方程与特征曲面 191

7.2方程组的特征理论 195

7.2.1弱间断解与特征线 196

7.2.2狭义双曲型方程组的标准型 198

7.3双曲型方程组的Cauchy问题 200

7.3.1解的存在性与唯一性 200

7.3.2解的稳定性 204

7.4 Cauchy-Kovalevskaja定理 204

7.4.1 Cauchy-Kovalevskaja型方程组 205

7.4.2 Cauchy问题的化简 205

7.4.3强函数 207

7.4.4 Cauchy-Kovalevskaja定理的证明 208

习题7 211

第8章 广义函数与基本解 216

8.1基本空间 216

8.1.1引言 216

8.1.2基本空间？（RN）和？（RN） 218

8.1.3基本空间？（RN）及其上的Fourier变换 220

8.2广义函数空间 227

8.2.1概念与例子 227

8.2.2广义函数的收敛性 228

8.2.3自变量的变换 230

8.2.4广义函数的微商与乘子 232

8.2.5广义函数的支集 234

8.2.6广义函数的卷积 236

8.2.7 ？′空间上的Fourier变换 241

8.3基本解 244

8.3.1基本解的概念 244

8.3.2热传导方程及其Cauchy问题的基本解 247

8.3.3波动方程Cauchy问题的基本解 249

8.3.4调和、重调和及多调和算子的基本解 251

习题8 253

索引 258