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第1部分 数学物理方程 3

第1章 方程的导出和定解条件 3

1.1 概念 3

1.1.1 有关数学物理方程的一些概念 3

1.1.2 定解条件和定解问题 4

1.1.3 解的适定性 6

1.1.4 数学物理方程研究的内容 6

1.2 三类方程的导出及定解问题的提法 6

1.2.1 热传导方程及其定解问题 6

1.2.2 波动方程及其定解问题 9

1.2.3 位势方程及其定解问题 11

1.3 预备知识 12

1.3.1 有关常微分方程中的一些知识 12

1.3.2 线性方程解的叠加原理 12

1.3.3 二阶线性常微分方程的常数变异法 13

1.3.4 二阶线性齐次常微分方程的幂级数解法 13

1.4 小结 14

1.4.1 基本概念 14

1.4.2 定解问题 14

1.4.3 主要数学家介绍 15

1.5 习题 16

第2章 行波法（达朗贝尔法） 18

2.1 一维波动问题 18

2.1.1 Duhamel原理 18

2.1.2 无界弦的自由振动（一维波动方程的柯西问题） 19

2.1.3 半无界弦的自由振动 20

2.1.4 无界弦的强迫振动 21

2.2 高维波动问题 22

2.2.1 空间齐次波动问题 22

2.2.2 二维波动方程的初值问题（降维法） 24

2.3 小结 26

2.4 习题 26

第3章 分离变量法 28

3.1 引言 28

3.2 直角坐标系下齐次方程齐次边界条件问题 29

3.2.1 一维弦的自由振动问题 29

3.2.2 一维细杆的热传导问题 31

3.2.3 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 33

3.3 直角坐标系下非齐次方程齐次边界条件问题 34

3.3.1 引言 34

3.3.2 问题模型 34

3.3.3 求解方法 34

3.4 直角坐标系下齐次方程非齐次边界条件问题 35

3.4.1 引言 35

3.4.2 求解方法 35

3.4.3 例题解析 36

3.5 极坐标系下的分离变量法 37

3.5.1 引言 37

3.5.2 问题模型 37

3.5.3 求解方法 38

3.5.4 例题解析 39

3.6 球坐标系下拉普拉斯方程的求解问题 39

3.6.1 勒让德方程的引出 39

3.6.2 勒让德方程的求解及勒让德函数的性质 41

3.6.3 勒让德函数及性质的应用——例题解析 42

3.7 柱坐标系下拉普拉斯方程的求解问题 43

3.7.1 贝塞尔方程的引出 43

3.7.2 贝塞尔方程的解及贝塞尔函数的性质 44

3.7.3 贝塞尔函数的应用——例题解析 46

3.8 小结 47

3.9 习题 49

第4章 积分变换法 51

4.1 引言 51

4.2 傅里叶变换及应用 52

4.2.1 傅里叶变换的定义 52

4.2.2 傅里叶变换的性质 52

4.2.3 使用傅里叶变换时应注意的问题 53

4.2.4 傅里叶变换在定解问题中的应用——例题解析 53

4.3 拉普拉斯变换及应用 55

4.3.1 拉普拉斯变换的概念 55

4.3.2 拉普拉斯变换的性质 55

4.3.3 拉普拉斯变换性质的简单应用——例题解析 56

4.3.4 拉普拉斯变换在定解问题中的应用——例题解析 57

4.4 小结 58

4.5 习题 59

第5章 格林函数法 60

5.1 调和函数及性质 60

5.1.1 格林公式 60

5.1.2 调和函数及其积分表达式 61

5.1.3 调和函数的性质 62

5.2 格林函数及应用 63

5.2.1 格林函数的定义 63

5.2.2 格林函数的求法和边值问题的解 64

5.3 小结 66

5.4 习题 66

第6章 变分法初步 68

6.1 变分问题的引出及最简变分问题的解法 68

6.1.1 变分法的基本引理 68

6.1.2 泛函取极值的必要条件 69

6.1.3 例题验证 69

6.2 变分法的应用——例题解析 69

6.3 极小曲面问题研究状况综述 72

6.3.1 极小曲面的概念 72

6.3.2 有关极小曲面问题 72

6.4 小结 77

6.5 习题 77

部分习题参考答案 79

参考文献 82

第2部分 数学物理方程反问题研究有关数学物理方程的反问题 87

热传导方程反问题的存在性（一） 92

热传导方程反问题的存在性（二） 99

一类抛物型方程的反问题 104

非线性热传导方程的反问题 113

热传导方程的反问题 120

一类双曲方程反问题的存在性及唯一性 125