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第一章 几何空间的线性结构和度量结构 1

1 向量及其线性运算 1

1.1 向量的概念 1

1.2 向量的加法 2

1.3 向量的数量乘法 4

1.4 共线（共面）的向量组 6

习题1.1 10

2 几何空间的线性结构 12

2.1 向量和点的仿射坐标、直角坐标 12

2.2 用坐标做向量的线性运算 15

2.3 三点（或两向量）共线的条件 16

2.4 线段的定比分点 18

习题1.2 22

3 向量的内积 23

3.1 射影和分量 24

3.2 向量的内积的定义和性质 26

3.3 用坐标计算向量的内积 27

3.4 方向角和方向余弦 28

习题1.3 29

4 向量的外积 30

4.1 向量的外积的定义 31

4.2 向量的外积的几何意义，平面的定向 31

4.3 向量的外积的运算规律 33

4.4 用坐标计算向量的外积 36

4.5 二重外积 37

习题1.4 38

5 向量的混合积 39

5.1 向量的混合积的几何意义和性质 39

5.2 用坐标计算向量的混合积 40

5.3 三向量（或四点）共面的条件 41

5.4 拉格朗日恒等式及其应用 43

5.5 向量代数在球面三角中的应用 44

习题1.5 46

第二章 空间的平面和直线 48

1 仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置 48

1.1 平面的参数方程和普通方程 48

1.2 两平面的相关位置 51

1.3 三平面恰交于一点的条件 52

1.4 有轴平面束 52

习题2.1 54

2 直角坐标系中平面的方程，点到平面的距离 55

2.1 直角坐标系中平面方程的系数的几何意义 55

2.2 点到平面的距离 56

2.3 三元一次不等式的几何意义 57

2.4 两个平面的夹角 57

习题2.2 58

3 直线的方程，直线、平面间的相关位置 60

3.1 直线的方程 60

3.2 两条直线的相关位置 63

3.3 直线和平面的相关位置 64

3.4 例 65

习题2.3 67

4 点、直线和平面之间的度量关系 71

4.1 点到直线的距离 71

4.2 两条直线的距离 71

4.3 两条直线所成的角，直线和平面所成的角 73

习题2.4 74

第三章 常见曲面 76

1 球面和旋转面 76

1.1 球面的普通方程 76

1.2 球面的参数方程，点的球面坐标 76

1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程 77

1.4 旋转面 78

习题3.1 82

2 柱面和锥面 84

2.1 柱面方程的建立 84

2.2 圆柱面，点的柱面坐标 85

2.3 柱面方程的特点 86

2.4 锥面方程的建立 88

2.5 圆锥面 89

2.6 锥面方程的特点 90

习题3.2 91

3 二次曲面 93

3.1 椭球面 93

3.2 单叶双曲面和双叶双曲面 95

3.3 椭圆抛物面和双曲抛物面 97

3.4 二次曲面的种类 99

习题3.3 100

4 直纹面 102

习题3.4 105

5 曲面的交线，曲面所围成的区域 106

5.1 画空间图形常用的三种方法 106

5.2 曲线在坐标平面上的投影，曲面的交线的画法 109

5.3 曲面所围成的区域的画法 112

习题3.5 113

第四章 坐标变换 115

1 平面的仿射坐标变换 115

1.1 点的仿射坐标变换公式 115

1.2 向量的仿射坐标变换公式 116

习题4.1 117

2 矩阵及其运算 118

2.1 矩阵的概念以及矩阵的运算 118

2.2 矩阵的分块 123

2.3 方阵的行列式 125

2.4 可逆矩阵 126

2.5 正交矩阵 128

习题4.2 129

3 平面直角坐标变换 130

3.1 直角坐标变换公式 130

3.2 直角坐标变换中的过渡矩阵 131

3.3 移轴公式和转轴公式 133

3.4 例 134

习题4.3 136

4 几何空间的坐标变换 138

4.1 仿射坐标变换 138

4.2 直角坐标变换 139

4.3 例 140

4.4 代数曲面（线）及其次数 141

习题4.4 142

第五章 二次曲线方程的化简及其类型和性质 145

1 二次曲线方程的化简及其类型 146

1.1 作转轴消去交叉项 146

1.2 作移轴进一步化简方程 151

1.3 例 154

习题5.1 157

2 二次曲线的不变量 158

2.1 二次曲线的不变量和半不变量 158

2.2 利用不变量确定二次曲线的类型和形状 164

2.3 例 166

习题5.2 168

3 二次曲线的对称中心 169

3.1 直线与二次曲线的相关位置 170

3.2 二次曲线的对称中心 172

习题5.3 175

4 二次曲线的直径和对称轴 176

4.1 二次曲线的直径 176

4.2 圆锥曲线的对称轴 178

4.3 从原方程的系数确定圆锥曲线的位置 180

习题5.4 183

5 二次曲线的切线，双曲线的渐近线 185

5.1 二次曲线的切线和法线 185

5.2 双曲线的渐近线 188

习题5.5 189

第六章 正交变换和仿射变换 191

1 映射 191

1.1 映射的定义和例 191

1.2 映射的乘法，可逆映射 194

习题6.1 198

2 平面的正交变换 199

习题6.2 205

3 平面的仿射变换 207

3.1 仿射变换的定义和例 207

3.2 仿射变换的性质 215

3.3 仿射变换的变积系数 225

习题6.3 227

4 图形的度量性质和仿射性质 230

4.1 度量性质和仿射性质 230

4.2 变换群与几何学 233

4.3 图形的正交等价和仿射等价 234

习题6.4 236

5 二次曲线的正交分类和仿射分类 236

习题6.5 240

6 几何空间的正交变换和仿射变换 241

习题6.6 247

第七章 射影平面和它的射影变换 251

1 射影平面，齐次坐标 252

1.1 中心为O的把与扩大的欧几里得平面 252

1.2 射影平面的定义和几何模型 255

1.3 点的齐次坐标 261

1.4 直线的齐次坐标方程 263

习题7.1 265

2 射影平面上的对偶原理 265

习题7.2 268

3 交比 269

3.1 交比的定义和性质 269

3.2 调和点列与调和线束 274

习题7.3 277

4 射影坐标和射影坐标变换 278

4.1 点的射影坐标 278

4.2 射影坐标变换公式 282

4.3 直线的射影坐标方程 284

4.4 用射影坐标计算交比 285

4.5 点的非齐次射影坐标 287

习题7.4 288

5 射影映射和射影变换 290

5.1 射影映射的定义和性质 290

5.2 射影变换 296

5.3 分式线性变换 298

5.4 仿射-射影变换 298

习题7.5 300

6 配极，二次曲线的射影分类 301

6.1 射影平面上的二次曲线 301

6.2 二次曲线的切线 302

6.3 极点和极线 304

6.4 自配极三角形 306

6.5 二次曲线的射影分类 307

6.6 斯坦纳定理，巴斯卡定理，布里昂香定理 309

习题7.6 311

习题答案与提示 314