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第一章 概率论复习 1

1.1 事件和样本空间 1

1.2 概率测度 4

1.3 条件概率和独立性 10

1.4 随机变量 15

1.5 离散变量和δ-函数 20

1.6 条件分布和独立性 26

1.7 数学期望、方差和其他矩 30

第二章 布朗运动 38

2.1 引言 朗之万方程和布朗运动 38

2.2 随机游动和硬币抛掷 后向方程和前向方程 45

2.3 布朗运动的构造 50

第三章 随机(伊藤)微积分 60

3.1 引言 60

3.2 伊藤随机积分和斯特拉脱诺维奇随机积分 62

3.3 随机积分的构造 71

3.4 随机微分和伊藤公式 75

第四章 随机微分方程 83

4.1 基本理论和线性方程 83

4.2 解的存在性和唯一性 93

4.3 随机微分方程和扩散过程 97

(a) 马尔可夫过程 97

(b) 扩散过程 98

(c) 扩散过程和随机微分方程 99

5.1 柯尔莫哥洛夫，费恩曼和卡西公式 102

第五章 随机微分方程和偏微分方程 102

5.2 福克尔-普朗克与柯尔莫哥洛夫前向和后向方程 105

5.3 随机微分方程组和边界条件 108

(a) 方程组的伊藤公式 108

(b) 吸收边界 109

(c) 反射边界 111

5.4 伊藤公式的应用 113

(a) 离出(首次通过)时间和邓肯方程 113

(b) 离出点的分布 116

(c) 随机微分方程解的稳定性：李雅普诺夫判别法 120

第六章 随机微分方程的渐近分析 127

6.1 斯莫路苏斯基-克拉美逼近 127

6.2 扩散逼近马尔可夫链：在遗传学中的应用 144

第七章 离出问题和奇异摄动 153

7.1 在一流场中的小扩散 153

7.2 顺流扩散和具有反射的扩散 154

7.3 越流的小扩散 159

7.4 逆流的小扩散 161

7.5 例 170

7.6 期望离出时间和奇异摄动中的第一特征值 174

第八章 越势垒扩散 183

8.1 化学反应的扩散模型 183

8.2 晶体中的原子迁移 191

8.3 一维离出问题和多重转移状态 200

8.4 椭圆型偏微分方程的多重转移状态和离出问题 205

8.5 离出时间 215

8.6 化学反应速率中的应用和第二特征值问题 219

8.7 晶体中原子迁移的扩散张量，纳恩斯特-爱因斯坦公式以及斯莫路苏斯方程的均匀性 232

第九章 滤波理论 244

9.1 引言 244

9.2 信号模型 245

9.3 信号的调制和量测 248

9.4 最优估计量和库西内尔方程 251

9.5 估计方程、线性理论和调幅传输 255

9.6 非线性滤波、调频传输 260

9.7 调频传输和锁相环路中的跳周现象 262

9.8 锁相环路中平均跳周时间的计算 270

9.9 锁相环路中的多级跳周和阈现象 278

第十章 经典力学和微分方程中的若干论题 281

10.1 哈密顿运动方程，刘维尔方程，朋加莱定理，洛喜米脱、策墨罗驳论以及斯莫路苏斯基理论 281

10.2 一阶偏微分方程 292

10.3 椭圆型和抛物型偏微分方程 294

附录 电路原理 305

索引 309

参考文献 317