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第1章 绪论——纵观古今，面向未来 1

1 数学的重要性 1

1.数学与对知识的探求 1

2.数学的重要性 2

3.两种文化的融合 3

4.指导思想 3

2 数学史上的关键时期 5

1.五个质不同的时期 5

2.四个高峰期 8

3.七次飞跃 8

3 数学的特点与教育价值 9

1.数学的特点 9

2.数学的教育价值 11

4 如何学 12

1.鉴赏力 12

2.致广大而尽精微 12

3.澄其源而清其流 13

4.循序渐进 13

5.笛卡儿的方法论 14

6.以简驭繁 15

7.从师、读书与讨论 15

8.验证与总结 15

9.刻苦努力——不受一番冰霜苦，哪有梅花放清香 16

第2章 数学文化的源头 17

1 数学文化的源头 18

2 希腊人的哲学观及其影响 19

1.数学的真理性 19

2.柏拉图与亚里士多德 19

3.柏拉图、亚里士多德与西方文化 21

3 古代希腊的天文学 22

1.早期的地心说 22

2.日心说的提出 23

3.第一次科学大综合 23

4 从经验数学到演绎数学 24

1.经验数学 24

2.希腊人对数学思想的贡献 25

3.演绎几何的诞生 26

5 演绎数学 28

1.演绎法的结构 28

2.演绎推理的地位 29

3.合情推理与论证推理 30

6 希腊数学的重要成果 30

1.毕达哥拉斯学派发现无理数 30

2.正多边形作图 31

3.圆锥曲线 32

4.阿基米德的数学成就 33

5.三角术的创立 33

7 留给后人的难题 34

1.关于无理数 34

2.几何作图三大问题 34

第3章 现代科学的发端 36

1 科学方法 36

1.培根与归纳法 37

2.笛卡儿与演绎法 38

3.归纳法与演绎法 38

4.伽利略的科学规划 39

5.三大要素 40

2 科学的数学化 40

1.宇宙的和谐 40

2.近代科学的黎明——哥白尼革命 41

3.哥白尼体系的真理性 42

3 天体力学的诞生 42

1.开普勒的三定律 43

2.开普勒的天文学与正多面体 44

4 牛顿力学的建立 46

1.牛顿面临的问题 46

2.苹果、月亮和万有引力 47

3.奇妙的预测 50

第4章 绘画艺术与几何学 52

1 科学与艺术 52

1.美与真 52

2.异同比较 53

3.相互依存 53

2 绘画与数学 54

1.绘画与科学 54

2.新的时代，新的艺术 54

3.引入第三维 55

4.数学的引入 56

5.艺术家丢勒 58

6.数学定理 59

7.从艺术中诞生的科学 61

3 完美的结合，艺术的顶峰 62

1.文艺复兴早期的绘画 62

2.盛期文艺复兴三杰 65

3.风景画 69

第5章 数的扩充史 70

1 数的基本知识 70

1.两种知识 71

2.数的用途 71

3.五个主要阶段 71

4.十进位制 72

5.印度-阿拉伯记数法 72

6.数的几何表示——数轴与复平面 72

2 关键进展 73

1.新的语言 73

2.无理数的诞生 74

3.0的发现 74

4.负数的引入 74

5.数与代数方程 75

6.复数 75

7.代数数与超越数 76

8.希尔伯特第七问题 77

3 新的数系 77

1.四元数的诞生 77

2.四元数的性质 79

3.矩阵 80

4.超限数 80

4 可数集 82

1.势的概念 82

2.有理数集是可数的 83

5 数系的公理化 84

1.皮亚诺的五条公理 85

2.有理数的定义 85

3.有理数的两条重要性质 85

4.实数的定义 86

第6章 解析几何概要 88

1 两个基本概念 88

1.解析几何的诞生 88

2.两个基本概念 89

2 圆锥曲线 90

1.希腊数学的顶峰 90

2.椭圆、双曲线、抛物线 90

3.二次曲线的光学性质 92

4.观测宇宙 95

3 化二次方程为标准形 96

1.九种标准形 96

2.坐标变换 97

3.化二次方程为标准形 98

4 向量代数 99

1.向量 99

2.向量的加减法与数乘 100

3.向量的坐标表示 100

4.数量积和它的性质 101

5 应用与意义 102

1.解析几何解决的主要问题 102

2.解析几何的伟大意义 104

第7章 微积分发展史 107

引言 107

1.目的 107

2.概观 108

3.分期 108

1 希腊时期 109

1.数的学问 109

2.芝诺的四个悖论 109

3.欧多克苏斯和比例 110

4.面积与穷竭法 110

5.阿基米德的平衡法 112

2 酝酿时期 114

1.方法的变革 114

2.开普勒的工作 114

3.不可分素方法 115

4.微分学的早期史 117

5.巴罗的贡献 119

6.前期史小结 119

3 诞生和发展时期 120

1.发现和洞见 120

2.牛顿对微积分的主要贡献 121

3.莱布尼茨对微积分的主要贡献 121

4.18世纪的进展 121

5.第二次数学危机 122

6.待解决的问题 125

4 严格化时期 125

1.函数概念 125

2.布尔查诺的贡献 126

3.柯西的工作 126

4.分析的算术化 127

第8章 傅里叶分析与音乐 130

1 音律的确定 130

1.古希腊音律的确定 131

2.中国古代对音律的贡献 133

3.十二平均律 133

2 数学与音乐的进一步联系 135

1.梅森的定律 135

2.伟大的傅里叶 135

3.简谐振动 136

4.弹簧的振动 137

5.傅里叶定理 139

6.大自然的统一性 141

7.麦克斯韦的功绩 142

8.小结 142

第9章 非欧几何的诞生及影响 143

1 欧氏几何回顾 143

1.欧氏几何的内容 143

2.欧氏几何的历史地位 145

3.《几何原本》在中国 145

2 非欧几何的缘起 146

1.平行公设引起的思考 146

2.从《几何原本》的诞生到18世纪 146

3.非欧几何的孕育时期 147

3 非欧几何的确立 149

1.非欧几何的诞生 149

2.罗巴切夫斯基的解答 150

3.一个全新的世界 152

4.双曲几何的相容性 153

4 椭圆几何 155

1.黎曼的非欧几何 155

2.球面几何 156

3.欧氏几何与非欧几何比较 156

5 新的里程碑 157

1.非欧几何诞生的意义 157

2.微分几何 158

3.爱尔兰根纲领 159

4.几何学的进一步发展 160

6 非欧几何学与艺术 161

1.艺术中的教学家 161

2.双曲几何学与艺术 161

第10章 重温代数学 163

1 符号代数的发展 163

1.文字阶段 163

2.简写阶段 164

3.符号阶段 164

2 代数学发展的三个不同时期 166

1.代数学的诞生 166

2.代数方程式论 167

3.代数结构 168

3 代数方程式论 168

1.方程式论 168

2.代数基本定理 169

3.根与系数的关系——韦达定理 170

4.五次以上的代数方程 170

4 三次代数方程与四次代数方程 171

1.单位根 171

2.化为缺项的方程 172

3.三次代数方程的解 173

4.解的确定 174

5.三次代数方程解法小结 175

6.四次代数方程解法概要 175

5 群和域 175

1.群的定义 175

2.置换群 179

3.对称中的对称——子群 180

4.域的概念 181

5.伽罗瓦理论 181

6 代数与古典几何名题 183

1.几何中的三大经典问题 183

2.化为代数问题 184

3.三大经典问题不可解的证明 185

第11章 数学的广阔用场 187

1 数学与自然科学 187

1.电磁现象 188

2.物理学新的里程碑 189

3.概率论与太空旅行 192

4.化学 193

5.生物科学 194

2 数学与人文科学 197

1.人文科学与数学教育的历史 197

2.数学和人文科学之间的桥梁 198

3.数理语言学 199

4.选票分配问题 200

5.文学与统计学 202

6.诺贝尔经济学奖与数学 204

7.数学与西方政治 204

参考书目 207