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第一章 集合 1

1.1 集合及其运算 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的相等与包含关系 1

1.1.3 集合的运算 1

1.1.4 集族 2

1.1.5 集合序列的极限 3

1.1.6 集族的直积(集) 3

1.2 集合的势(基数) 4

1.2.1 映射的概念 4

1.2.2 集合的对等、势 5

1.2.3 势的比较 6

1.3 可数集与不可数集 7

1.4 Zorn引理 10

习题 10

第二章 点集拓扑 13

2.1 n维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念 13

2.2 拓扑空间中的若干基本概念 14

2.3 连续映射 21

2.4 R中的开集及完全集的构造 24

习题 26

3.1.1 集合代数与σ代数 29

第三章 测度 29

3.1 集合代数 29

3.1.2 单调族 30

3.2 测度的概念及其基本性质 31

3.2.1 拓广实数系R 31

3.2.2 测度 32

3.2.3 测度的基本性质 33

3.3 Caratheodory外测度方法 34

3.3.1 Caratheodory外测度及其产生测度的C外测度法 34

3.3.2 测度空间的扩张 36

3.4 R上的Lebesgue-Stieltjes测度 40

习题 43

第四章 可测函数 46

4.1 可测函数及其性质 46

4.2 可测函数列 51

4.3 L-S可测函数与连续函数的关系 56

习题 58

第五章 积分 60

5.1 可测函数的积分 60

5.1.1 非负简单函数的积分 60

5.1.2 非负可测函数的积分 62

5.1.3 一般可测函数的积分 67

5.2 Lebesgue积分与Riemann积分 75

5.3 乘积空间上的积分 80

5.4 广义测度 88

5.4.1 广义测度的Jordan-Hahn分解 88

5.4.2 广义测度的绝对连续 92

5.4.3 Radon-Nikodym定理 92

习题 98

第六章 赋范线性空间 104

6.1 基本概念 104

6.2.1 Lp空间 106

6.2 Banach空间举隅 106

6.2.2 L∞空间 109

6.2.3 有限维赋范线性空间 110

6.2.4 有界连续函数空间C(X) 112

6.3 线性算子和线性泛函 114

6.4 线性算子空间和共轭空间 120

习题 126

第七章 内积空间 129

7.1 内积空间的概念 129

7.2 Fourier展开 131

7.3 正交分解 137

7.4 内积空间中的共轭空间与共轭算子 139

7.5 自伴算子、酉算子和正常算子 142

习题 145

第八章 泛函分析的基本定理 149

8.1 Hahn-Banach延拓定理 149

8.2 自反空间 155

8.3 共轭算子 157

8.4 一致有界性定理(共鸣定理，Banach-Steinhaus) 160

8.5 赋范线性空间中点、算子及泛函序列的收敛性 163

8.6 开映射定理、逆算子定理 167

8.7 闭图像定理 171

8.8 全连续算子 172

习题 175

第九章 Banach代数和全连续算子的谱 180

9.1 Banach代数 180

9.2 全连续算子方程 184

9.3 全连续算子的谱 190

第十章 附录 192

10.1 R中非Lebesgue可测集的存在性 192

10.2 有界变差函数与绝对连续函数 193

10.3 Riemann-Stieltjes积分 208

10.4 空间C[a，b]上有界线性泛函的表示 212