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目 录 1

第一册 1

第一章数学分析的基本概念 1

§1 函数 1

§2几个基本问题 11

（一）函数的连续性 11

（二）级数求和 12

（三）曲边梯形的面积 14

（四）瞬时速度问题 15

§3极限概念 16

（一）极限过程 16

（二）极限的定义 18

（三）无穷小量与无穷大量 26

§4几个基本概念 32

（一）函数的连续性 32

（二）级数的收敛与发散 36

（三）导数 38

（四）积分 40

§5极限的四则运算 45

§6极限的基本性质 55

§7极限存在的准则 63

准则1 夹挤准则 63

准则2单调有界原理 65

*准则3 哥西收敛准则 70

§8数项级数的收敛判别法 74

（一）三角函数的有理式 （1 75

*§9极限举例 85

§10无穷小量与无穷大量阶的比较 96

综合练习 103

附录一实数的基本定理 107

第一章框图 108

附录二函数概念发展简介 118

附录三极限概念产生、发展过程简介 121

第二章 一元函数的微积分 129

§1导数与积分的关系 129

（一） 微分与积分的概念 129

（二） 导数与积分的关系 135

§2导数与积分的基本公式 141

§3求导数与求积分的基本方法 147

（一）乘积的导数与分部积分法 147

（二） 复合函数求导数与不定积分的换元法 150

高阶导数 162

（三）参数方程确定的函数的导数及 162

§4有理函数的积分法 168

（一） 分解真分式为部分分式 168

（二）有理函数的积分 171

§5可化为有理函数积分的几类 175

（二） 某些无理函数的积分 179

（三）二项微分式的积分 182

积分综合练习题 187

§6定积分的分部积分法与换元法 189

（一）分部积分法 189

（二）换元积分法 191

§7定积分的近似计算 199

§8定积分的应用 203

（一） 平面图形的面积 203

（二）体积 205

（三）曲线的弧长 206

（四）曲率 209

*（五）力矩和重心的计算 210

*（六）在物理力学士的应用 212

§9微分中值定理及其应用 215

§10泰勒公式及其应用 228

（一）泰勒公式 228

（二）最大值与最小值 233

（三）曲线的凹凸 236

综合练习 242

第三章函数项级数与广义积分 245

§1广义积分与级数的类比 245

（一）广义积分 245

（二）广义积分与级数的相似性 249

§2 Гamma函数与Beta函数 260

（一）Гamma函数 260

（二）Beta函数 262

§3函数项级数 265

§4幂级数与泰勒级数 274

（一）幂级数 274

（二）泰勒级数 280

§5傅里哀（Fourier）级数 288

综合练习 299

§1基本概念 302

第四章简单的微分方程 302

§2一阶方程 305

1． 分离变量方程 306

2．线性方程 307

（一）两类最基本的方程 308

（二）解一阶方程时变换的应用 310

1． 齐次方程 310

2．形如y′=f(a1x+b1y+c1/a2x+b2y+c2)的方程 311

3．贝努里（Bernoulli）方程 312

4．黎卡提（Riccati）方程 313

（三）应用实例 314

（一）线性方程解的结构定理 321

§3二阶线性方程 321

（二）常系数线性二阶方程 322

1． 齐次方程（3.4）的通解 323

2． 非齐次方程（3.3）的特解—— 326

待定系数法 326

（三）常数变易法 330

§4高阶方程 333

（一） 高阶常系数线性方程 333

（二） 降阶法 334

1． 几类特殊高阶方程的降阶法 334

2． 线性齐次方程的降阶 337

（三）尤拉方程 338

（四）应用实例 339