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1 引言与准备 1

1.1 从Dirichlet原理说起 1

1.2 IP空间 4

1.2.1 一些基本结果 4

1.2.2 LP空间的对偶空间 9

1.3 磨光核（mollifier）与磨光函数 10

1.4 单位分解 15

2 整指数的索伯列夫（Sobolev）空间 17

2.1 整指数索伯列夫（Sobolev）空间的定义 17

2.2 Wm,p(Ω)的性质 18

2.3 Hm,p(Ω),Wm,p(Ω)与Wo？,p(Ω)之间的关系 24

2.4 坐标变换 29

2.5 Wo？,p(Ω)（或Ho？,p(Ω)）的对偶空间 32

2.6 Sobolev不等式与嵌入定理 35

2.6.1 Sobolev不等式 35

2.6.2 Wm,p(Ω)空间嵌入的含义 40

2.6.3 Sobolev嵌入定理的结论 42

2.6.4 Wm,p(Ω)的紧嵌入 43

3 广义函数初步 46

3.1 广义函数的概念、基本函数空间 46

3.1.1 广义函数的一例 46

3.1.2 三个基本函数空间 48

3.1.3 广义函数空间 52

3.2 广义函数的性质与运算 53

3.2.1 广义函数的支集 53

3.2.2 广义函数的极限 56

3.2.3 广义函数的导数 60

3.2.4 广义函数的乘子 62

3.2.5 广义函数的自变量变换 63

3.3 广义函数的Fourier变换 65

3.3.1 急减函数的Fourier变换 65

3.3.2 缓增广义函数的Fourier变换 70

3.3.3 具紧支集广义函数的Fourier变换 74

3.3.4 Paley-Wiener定理 75

4 实指数的Sobolev空间 77

4.1 实指数Sobolev空间及其性质 77

4.2 对偶空间H-s(Rn) 79

4.3 Hs(Rn)中的乘子 81

4.4 嵌入定理 83

4.5 迹与迹算子 85

5 整指数Sobolev空间嵌入定理的证明 92

5.1 一些引理 92

5.2 嵌入定理的证明 106

5.3 紧嵌入定理的证明 111

参考文献 115