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引言 1

习题 5

第一章 从星期到模m剩余类环 6

1.1集合的划分与等价关系 6

习题1.1 10

1.2模m剩余类环Zm，环和域的概念 11

习题1.2 15

1.3整数环的结构 15

习题1.3 20

1.4Zm的可逆元的判定，模P剩余类域，域的特征，费马小定理 21

习题1.4 25

1.5中国剩余定理 25

习题1.5 28

1.6Zm的可逆元的个数，欧拉函数 28

习题1.6 34

1.7Zm的单位群Zm，欧拉定理，循环群及其判定 34

1.7.1Zm的结构，群 34

1.7.2欧拉定理 36

1.7.3群的元素的阶 37

1.7.4循环群及其判定 39

习题1.7 43

1.8筛法，威尔逊定理，素数的分布 44

1.8.1筛法，威尔逊定理 44

1.8.2素数的分布 45

1.8.3素数的计数 47

习题1.8 53

第二章 从解方程到一元多项式环 55

2.1一元多项式环的概念 55

习题2.1 58

2.2带余除法，整除关系 59

习题2.2 61

2.3最大公因式 62

2.3.1最大公因式 62

2.3.2互素的多项式 64

习题2.3 65

2.4不可约多项式，唯一因式分解定理 66

习题2.4 68

2.5多项式的根，多项式函数，复数域上的不可约多项式 69

2.5.1多项式的根 69

2.5.2多项式函数 70

2.5.3复数域上的不可约多项式 71

习题2.5 74

2.6实数域上的不可约多项式 75

习题2.6 78

2.7有理数域上的不可约多项式 78

习题2.7 86

第三章 从通信安全到密码学 87

3.1序列密码 87

习题3.1 96

3.2线性反馈移位寄存器，m序列 97

习题3.2 107

3.3公开密钥密码体制，RSA密码系统 107

习题3.3 111

3.4数字签名 112

习题3.4 113

第四章 数学发展史上若干重大创新 114

4.1从对运动的研究到微积分的创立和严密化 114

4.1.1 17世纪对天体运动的研究 114

4.1.2牛顿和莱布尼茨创立微积分 115

4.1.3微积分的严密化 118

4.1.4实数系的连续性与完备性 119

4.2从平行公设到非欧几里得几何的诞生与实现 124

4.2.1欧几里得几何 124

4.2.2对平行公设的质疑 125

4.2.3非欧几里得几何的诞生 126

4.2.4非欧几何在现实物质世界中的实现 128

4.2.5非欧几何的诞生与实现给我们的启迪 143

4.3从方程根式可解问题到伽罗瓦理论的创立与代数学的变革 144

4.3.1三次、四次方程的解法 144

4.3.2拉格朗日等人对于五次及更高次一般方程不能用根式解的研究 146

4.3.3伽罗瓦研究可用根式求解的方程的特性的思想 147

4.3.4伽罗瓦理论的基本定理 152

4.3.5方程根式可解的判别准则 154

4.3.6高于四次的一般方程不是根式可解的证明 159

4.3.7伽罗瓦理论的创立给我们的启迪 162

附录1研究群的结构的途径 164

§1.1子群，正规子群，商群 164

§1.2群的同态，可解群 171

附录2域扩张的途径及其性质 181

§2.1理想，商环，环同态，极大理想，域扩张的途径 181

§2.2域扩张的性质，分裂域，伽罗瓦扩张 191

习题解答 204

参考文献 223