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绪论 1

第一节 代数学发展简史 1

一、代数学概述 1

二、代数学的发展 2

第二节 几何学发展简史 6

一、几何学概述 6

二、几何学的发展 6

习题 12

参考文献 12

第一章 数 13

第一节 数的形成与数系的扩充 13

一、数系的五次扩充 13

二、数系扩充的途径 14

三、数系扩充遵循的原则 15

第二节 自然数理论 15

一、自然数的基数理论 15

二、自然数的序数理论 18

三、自然数集的一些重要性质 21

四、扩大的自然数集 22

第三节 整数集 23

一、整数的概念与运算 23

二、整数的顺序关系 25

三、整数集的性质 26

第四节 有理数集及其性质 28

一、有理数的运算 28

二、有理数的顺序关系 29

三、有理数集的性质 30

第五节 实数集 32

一、无理数的引入 32

二、实数的概念 32

三、实数的顺序关系 33

四、实数的运算 34

五、实数的性质 35

第六节 复数集 37

一、复数的概念 37

二、复数的运算 37

三、复数的表示 38

四、复数的性质 40

习题一 41

本章参考文献 42

第二章 解析式与不等式 44

第一节 解析式 44

一、数学符号发展简史 44

二、解析式 45

第二节 绝对不等式的证明 47

一、分析法与综合法 47

二、数学归纳法 49

三、微积分法 52

四、其他方法 53

第三节 条件不等式的求解 55

一、解条件不等式的相关定理 55

二、一元有理不等式 56

三、一元无理不等式 58

四、绝对值不等式 60

第四节 重要不等式 62

一、平均值不等式 62

二、柯西不等式 64

三、伯努利不等式 66

四、琴森不等式 67

五、排序不等式 69

习题二 70

本章参考文献 72

第三章 方程 73

第一节 方程的概念 73

一、方程的基本概念 74

二、方程组的基本概念 74

第二节 同解方程 75

一、方程的同解性 75

二、方程组的同解性 79

第三节 解方程的常用方法 80

一、方程的常用解法 80

二、三次方程和四次方程的公式解法 84

三、五次以上高次方程的解法 87

第四节 方程组的解法 87

第五节 方程根的性质 90

一、韦达定理 91

二、方程的变换 92

三、关于方程根的近似计算 94

四、根的性质的综合运用 95

第六节 不定方程 98

一、二元一次不定方程 99

二、商高不定方程 105

三、高次不定方程与费马大定理 109

四、整除与同余 110

习题三 119

本章参考文献 121

第四章 函数 122

第一节 函数概念的三种定义 122

一、函数的定义 122

二、反函数的定义 125

三、复合函数 125

四、函数的常用表示法 126

第二节 初等函数 127

一、基本初等函数 127

二、基本初等函数的特征性质 128

三、初等函数及其分类 130

四、函数超越性的证明 132

第三节 函数的性质与图像 135

一、函数的定义域和值域 135

二、函数的性质 140

二、函数的图像及其画法 148

第四节 函数概念的教学 151

一、把握不同学段对函数教学的不同要求 151

二、把握函数与代数式、方程的关系 152

三、把握函数符号表示的变量之间的依赖关系和建立函数模型 152

习题四 153

本章参考文献 154

第五章 数列 155

第一节 等差数列与等比数列 155

一、基本概念与简单性质 155

二、与二项展开式系数相关的两个公式 157

三、综合运用 159

第二节 数列的通项公式与求和 165

一、求数列的通项公式 165

二、数列求和 172

第三节 数列的差分与高阶等差数列 177

一、数列的差分 177

二、高阶等差数列 178

三、高阶等差数列的应用 181

第四节 线性递归数列 181

一、基础知识 181

二、齐次线性递归数列 182

三、非齐次线性递归数列 186

习题五 189

本章参考文献 190

第六章 概率与统计初步 192

第一节 随机事件与样本空间 192

一、必然现象与随机现象 192

二、随机试验与随机事件 193

三、事件间的关系与运算 193

第二节 概率的概念与计算 197

一、两种概率模型 197

二、条件概率 202

三、全概率公式与贝叶斯公式 203

四、事件的独立性 205

五、独立试验概型 206

第三节 随机变量及其分布 207

一、随机变量的概念 207

二、随机变量的概率分布 207

第四节 统计初步 210

一、总体、个体与样本 210

二、统计量 211

习题六 211

本章参考文献 214

第七章 平面几何 215

第一节 平面几何的几个重要定理 215

第二节 平面几何中的若干重要不等式 220

一、关于周长与面积的若干结论 220

二、三角形中的基本不等式 221

第三节 平面几何问题的证明 223

一、平面几何问题的基本证明方法 223

二、添加辅助线 226

三、问题证明实施的具体办法 227

习题七 227

本章参考文献 229

第八章 立体几何 230

第一节 直线与平面的平行、垂直关系的对偶性 230

一、对偶原则 231

二、对偶原则的理论解释及其启示 233

第二节 空间向量的数量积与向量积及其在几何中的应用 233

一、空间向量的数量积（内积）及其应用 233

二、空间向量的向量积（外积）及其应用 237

三、利用空间向量求解立体几何问题综合举例 239

第三节 求解立体几何问题的方法 245

一、立体几何问题转化为向量问题 245

二、空间问题与平面问题的转化 250

三、化归方法在立体几何问题中的应用 254

习题八 255

本章参考文献 261

第九章 平面解析几何 262

第一节 曲线、方程与函数 262

一、坐标与坐标系 262

二、曲线与方程 263

三、方程与函数 265

四、函数与曲线 265

第二节 曲线的生成与类型的判别 265

一、曲线的生成 265

二、圆锥曲线类型的判别 267

第三节 解析几何问题的求解 269

一、曲线的方程问题 269

二、曲线的离心率问题 270

三、与曲线相关的最值问题 271

四、与曲线相关的直线问题 274

习题九 277

本章参考文献 280

第十章 球面几何初步 281

第一节 球面几何的有关概念 281

一、平面与球面的位置关系 281

二、直线与球面的位置关系和球幂定理 282

三、球面上的距离与角 283

四、球面上的基本图形 284

第二节 球面三角形 287

一、球面三角形三边之间的关系 287

二、球面“等腰”三角形 288

三、球面三角形的周长 288

四、球面三角形的内角和 289

五、球面三角形全等 291

六、球面三角形的正弦定理与余弦定理 292

七、球面多边形与欧拉公式 294

习题十 296

本章参考文献 297