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第一章 数的进位制与找假珍珠 1

（一）从数说起 1

（二）数的进位制 8

（三）二进制与猜数字游戏 13

（四）盘子装箱问题 14

（五）砝码问题 16

（六）找出假珍珠 20

（七）揭开猜朴克的奥妙 22

（八）梵塔与世界末日的传说 25

第二章 无限王国奇遇 27

（一）希尔的宾馆和集合的基数 28

（二）有理数集是可列集 30

（三）实数集不是可列集 33

（四）平面点集和实数集等势 35

（五）康托（Cantor）集合 37

（六）无限集的势是没有尽头的 38

（七）阿列夫家族与连续统假设 40

（八）康托悖论 41

（九）认识的无限性与知识的无限性 44

（十）一列队伍无头无尾 45

第三章 极限方法与极限概念 47

（一）关于圆周率π的故事 47

（二）牛顿—莱布尼兹创立了微积分 52

（三）极限过程与极限概念 55

（四）极限的局部性 59

（五）等比级数求和 60

（六）几个有趣的例子 63

（七）抛球悖论 65

（八）实无穷与潜无穷 66

（九）无穷小量的无穷多层次 67

第四章 无穷级数与国王的宝盒 70

（一）无穷级数 70

（二）神奇的天平 75

（三）无穷级数和无穷积分的相似性 78

（四）函数项级数与函数的级数展开 82

（五）p-级数及级数？的和 89

（六）付里哀级数 90

（七）国王的宝盒 93

第五章 牛顿是怎样发现万有引力定律的 98

（一）天体运动的轨道曲线 98

（二）牛顿是怎样发现万有引力定律的 102

（三）算一算地球的质量 106

（四）用曲线积分证明开普勒第二定律 107

（五）卫星的最大与最小速度 109

（六）天体运动知识总结 111

（七）第一宇宙速度 113

（八）第二宇宙速度 114

（九）第三宇宙速度 116

（十）地面与月面运动的对比 118

（十一）陨石的下落 120

第六章 平均值及有关的不等式 124

（一）从平均值到数学期望 124

（二）决策树方法 130

（三）平均值与积分的近似计算 132

（四）利用平均值展开函数为幂级数 135

（五）柯西平均值不等式 138

（六）用倒推归纳法证明柯西平均值定理 142

（七）用倒推归纳法证明乘幂平均数不等式 144

（八）柯西定理的一个等价性命题 149

（九）利用微分学知识推导柯西平均值不等式 150

（十）有关平均值不等式的几个极限 151

第七章 数e与地质年代的测定 155

（一）数e 155

（二）数e是无理数的证明 161

（三）欧拉常数 163

（四）连续复利与马尔萨斯人口模型 165

（五）平均寿命增加，人口总数是增加还是减少 168

（六）生物种群的数学模型 169

（七）测定化石年代的碳定年代法 171

（八）名画伪造案的判定 174

（九）地质年代的铷－锶测定法 176

（十）双曲函数与三角函数对比 178

第八章 杨辉三角与牛顿二项式定理 184

（一）杨辉三角 184

（二）有意思的巧合 188

（三）有限数列的和数列的一个有用结论 192

（四）牛顿是怎样求π的近似值的 194

（五）三项式系数 196

（六）多项式定理 197

（七）整数幂和公式的递推 198

（八）奇特的想法 200

（九）滚珠金字塔 202

（十）错装信封问题 204

（十一）斯特林公式 206

第九章 优化管理 210

（一）极值理论回顾 210

（二）蛛网模型 214

（三）最大利润 216

（四）最优广告策略 219

（五）进货批量的优化 223

（六）经济量的弹性问题 224

（七）最小二乘法 225

（八）统计相关分析 231

第十章 搜索法 234

（一）用对分法求函数方程的近似解 234

（二）黄金分割法（0.618法） 235

（三）斐波那契（Fibonacci）数列 241

（四）斐波那契数与魔术师 245

（五）梯度搜索法 246

（六）线性规划模型 248

（七）运输问题的表上作业法 251

第十一章 七桥问题与中国邮路问题 256

（一）七桥问题 256

（二）四色问题 259

（三）中国邮递员问题 260

（四）运输问题的图上作业法 262

（五）最短路问题 267

（六）连线问题 269

（七）分配问题与最优对集 271

第十二章 几种有趣的曲线和有趣的函数 275

（一）旋轮线及最速下降问题 275

（二）旋轮线为什么也叫摆线 279

（三）惠更斯钟摆 283

（四）星形线 286

（五）圆内旋轮线 288

（六）圆外旋轮线 290

（七）悬链线 292

（八）螺线与四人追逐游戏 294

（九）从狗追兔子到导弹打飞机 297

（十）几个有趣的函数 300

第十三章 求质量与积分计算 306

（一）密度与概率分布 306

（二）非均匀杆的质量与定积分 309

（三）几类质量问题与几种积分概念 312

（四）化二重积分为累次积分 315

（五）利用极坐标计算二重积分 317

（六）化三重积分为累次积分 320

（七）利用球面坐标计算三重积分 323

（八）利用柱面坐标计算三重积分 326

（九）化一型曲线积分为定积分 327

（十）化一型曲面积分为二重积分 329

参考书目 332