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第八章 空间解析几何及矢量代数初步 1

1 空间直角坐标系 1

1.1 坐标系的建立 1

1.2 距离公式 5

2 矢量代数初步 6

2.1 矢量的概念 6

2.2 矢量的线性运算 10

2.3 矢量的共线与共面 13

2.4 矢量在轴上的投影 15

2.5 矢量的分解与坐标表示 17

2.6 矢量的数积 20

2.7 矢量的矢积 23

2.8 矢量的混合积 26

2.9 二重矢积 29

3 空间曲面和曲线的一般概念 30

3.1 空间曲面 30

3.2 空间曲线及其在坐标面上的投影 34

4 空间平面与直线 36

4.1 平面方程的点法式与一般式 37

4.2 平面方程的其它几种形式 39

4.3 空间直线 43

4.4 点、线、面之间的关系 45

5.1 旋转曲面与锥面 50

5 二次曲面 50

5.2 压缩与伸展 53

5.3 二次曲面的各种类型 54

6 空间直角坐标的变换 65

6.1 平移 66

6.2 旋转 67

6.3 一般变换 68

6.4 欧拉角 69

习题八 72

1.1 多元函数的定义 77

第九章 多元函数微分法及其应用 77

1 多元函数的基本概念与Rn中的点集 77

1.2 Rn中的某些特定点集 79

1.3 二元函数的图形 82

2 多元函数的极限与连续性 82

2.1 多重极限 82

2.2 连续与间断 85

2.3 连续函数的运算法则 87

2.4 有界闭区域上的连续函数 88

3 偏导数 89

3.1 偏导数的定义 89

3.2 计算举例 91

3.3 可导与连续 92

4 多元函数的微分 93

4.1 全微分的概念 93

4.2 可微与可导 94

4.3 全微分在近似计算和误差估计中的应用 98

5 复合函数的导数 99

5.1 连锁规则 99

5.2 几种情况 101

6 全微分基本定理 103

7.1 射线的参数方程 105

7 方向导数、梯度 105

7.2 方向导数 106

7.3 梯度 109

8 隐函数的导数 109

8.1 由一个方程确定的隐函数 110

8.2 由方程组所确定的隐函数 112

9 几何方面的应用 115

9.1 空间曲线的切线与法平面 115

9.2 曲面的切平面与法线 118

9.3 等值面与等值线 121

10 高阶偏导数与高阶微分 122

11 泰勒公式 127

12 极值问题 130

12.1 自由极值 130

12.2 最大与最小 134

12.3 条件极值 137

习题九 144

第十章 重积分和第一类线、面积分 151

1 概论 151

1.1 问题的提出 152

1.2 一般的定义 154

1.3 具体的形式 155

1.4 共同的性质 157

2 二重积分的计算 158

2.1 化二重积分为二次积分 158

2.2 用极坐标计算二重积分 167

2.3 二重积分的一般变量代换 172

3 三重积分的计算 175

3.1 化三重积分为三次积分 175

3.2 三重积分的变量代换 179

4 n重积分与广义重积分 186

4.1 n重积分 186

4.2 广义重积分 189

5 含参变量的积分 192

5.1 固定限情形的含参变量常义积分 193

5.2 变动限情形的含参变量常义积分 196

5.3 含参变量的无穷积分 198

5.4 含参变量的瑕积分 202

6 第一类曲线积分的计算 202

6.1 几点说明 203

6.2 化第一类曲线积分为定积分 203

6.3 例 206

7 第一类曲面积分的计算 208

7.1 面积投影定理 209

7.2 光滑曲面的面积 209

7.3 化第一类曲面积分为二重积分 215

8.1 质心（重心） 217

8 几类积分的应用 217

8.2 矩 220

8.3 引力 222

习题十 225

第十一章 第二类线、面积分及各种积分间的关系 231

1 第二类曲线积分 231

1.1 变力做功问题 231

1.2 定义与性质 233

1.3 第二类曲线积分的计算 235

1.4 两类曲线积分的关系 240

2.1 曲面侧的概念 242

2 第二类曲面积分 242

2.2 流量问题 245

2.3 第二类曲面积分的定义 246

2.4 第二类曲面积分的计算 247

2.5 两类曲面积分间的关系 251

3 格林公式 254

3.1 平面单连通域与多连通域 254

3.2 定理及其证明 256

3.3 应用于积分路线的变形 260

4 平面曲线积分与路径的无关性 262

4.1 问题的提出 262

4.2 定理及其证明 263

4.3 原函数的求法 266

5 奥—高公式 267

5.1 一维单连通与二维单连通的空间区域 267

5.2 定理及其证明 268

6 斯托克斯公式 272

6.1 定理及其证明 272

6.2 空间曲线积分与路径无关的条件 275

7 各种积分间的关系小结 277

习题十一 279

1.1 矢量函数的极限和连续 283

第十二章 矢量分析及场论初步 283

1 矢量分析初步 283

1.2 一元矢量函数的微分 285

1.3 一元矢量函数的积分 288

1.4 多元矢量函数的微积分 289

2 场的概念 291

3 数量场的梯度 293

4 矢量场的散度 296

5 矢量场的旋度 299

6 特殊的场 302

6.1 无旋场 302

6.2 无散场 303

6.3 调和场 306

7 场的确定 306

8 正交曲线坐标下的场论量 308

8.1 正交曲线坐标 308

8.2 正交曲线坐标系中的场论量 312

习题十二 316

第十三章 常微分方程（续） 320

1 一阶常微分方程的其它可解类型 320

1.1 全微分方程 320

1.2 积分因子 323

1.3 一阶隐方程 328

2 解的存在与唯一性定理 335

3 幂级数解法大意 343

4 标准微分方程组 348

4.1 基本概念 349

4.2 消去法 351

4.3 首次积分 353

4.4 与一阶线性偏微分方程的关系 356

5 线性方程组 359

5.1 基本理论 360

5.2 常系数齐线性方程组的通解 365

5.3 常系数非齐线性方程组的解法举例 371

6 拉普拉斯变换 374

6.1 基本概念 374

6.2 拉氏变换的性质 376

6.3 拉氏变换在求解微分方程中的应用 384

习题十三 387

附录 392

附录一 实数的基本定理 392

附录二 常系数非齐次线性方程的算子解法 398

参考书目 409

下册部分习题简答 411