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目 录 1

前言 1

第一章函数与极限 1

§1变量与函数 1

§1.1变量 1

§1.2函数的概念 3

§1.3函数的表示法 6

§1.4函数性态的简单讨论 10

§1.5反函数、复合函数与初等函数 11

§2极限的概念 16

§2.1收敛变量 17

§2.2变量的极限 20

§2.3七种极限过程 22

§2.4用定义求极限的几个例子 26

§2.5无穷大量与无界变量 31

§3极限的性质与运算法则 36

§3.1极限的基本性质 36

§3.2极限的四则运算 39

*§3.3施笃兹定理 42

§4极限存在的判别法及两个重要极限 44

§4.1夹挤定理 44

§4.2单调有界原理 47

§4.3柯西收敛准则 51

§4.4数列极限与函数极限的关系 52

*§4.5数列与其子数列的极限的关系 54

§5无穷小量和无穷大量的阶 55

§5.1无穷小量与无穷大量阶的比较 56

§5.2记号O、o和～ 58

§5.3主要部分与无穷小（大）量的阶数 61

§6连续函数 62

§6.1函数的连续性 62

§6.2函数的间断点 66

§6.3连续函数的运算性质及初等函数的连续性 67

*§6.4一致连续性 71

§6.5闭区间上的连续函数 73

习题一 78

第二章导数与微分 86

§1 导数的概念 86

§1.1几个实际例子 86

§1.2导数的定义 88

§1.3导数的几何意义 91

§1.4用定义求导数的几个例子 93

§2求导法则 95

§2.1导数的四则运算 96

§2.2反函数的导数 98

§2.3复合函数的导数（连锁规则） 100

§2.4隐函数的导数 107

§2.5参数方程所表示函数的导数 109

§3微分及其运算 114

§3.1微分的定义与性质 115

§3.2微分的运算 118

§3.3微分应用于近似计算和误差估计 119

§4高阶导数与高阶微分 122

§4.1高阶导数的概念 122

§4.2高阶导数的运算法则 125

§4.3参数方程及隐函数的高阶导数 126

§4.4高阶微分 128

习题二 130

第三章中值定理及其应用 136

§1中值定理 136

§1.1一个明显的几何事实 136

§1.2定理的表述 137

§1.3定理的证明 138

§1.4两条推论 141

§1.5有关定理条件的说明 141

§1.6例 142

§2不定式定值法 144

§2.1 0/0型∞/∞型不定式 145

§2.2其它型的不定式 150

§3泰勒（Taylor）公式 154

§3.1公式的建立 154

§3.2余项的不同形式 156

§3.3基本初等函数的麦克劳林展式 161

§3.4几个简单的应用 164

§4函数几何性质的讨论 168

§4.1函数的单调性 168

§4.2函数的极值 172

§4.3函数的最值 176

§4.4函数的凹凸与拐点 181

§5 函数作图 188

§5.1渐近线 188

§5.2函数作图的一般步骤 191

§6 曲率 194

§6.1概念的引进 194

§6.2曲率的计算 196

§6.3密切圆与渐屈线 199

习题三 202

第四章不定积分 208

§1不定积分的概念与性质 208

§1.1原函数与不定积分的定义 208

§1.2不定积分的基本公式 210

§1.3不定积分的运算法则和直接积分法 212

§2两个基本积分法 214

§2.1换元积分法 215

§2.2分部积分法 224

§3有理函数的积分 229

§3.1综述 230

§3.2待定系数法 231

§3.3例 232

*§3.4奥氏法 236

§4三角函数的有理式的积分 239

§4.1万能代换 240

§4.2整角代换 241

§4.3降幂法及其它 242

§5简单无理函数的积分 243

§5.1形如∫R(x,？)dx(n≥2)的不定积分 243

*§5.2欧拉代换 245

*§5.3二项微分式的积分 246

§6小结 249

习题四 253

第五章定积分 257

§1 定积分的概念和性质 257

§1.1两个实际问题 257

§1.2定积分的定义 261

§1.3可积性 262

§1.4定积分的几何意义 264

§1.5关于积分限的两条规定 265

§1.6定积分的性质 265

§2微积分基本定理 271

*§2.1用定义计算定积分 271

§2.2牛顿—莱布尼兹公式 274

§3定积分的换元法与分部积分法 278

§3.1定积分的换元法 278

§3.2定积分的分部积分法 282

§4.1微元分析法 284

§4定积分的应用 284

§4.2平面图形的面积 286

§4.3特殊立体的体积 292

§4.4曲线弧长 297

§4.5定积分在物理、力学中的应用举例 302

*§5定积分的近似计算 305

§6广义积分的基本概念 310

§6.1无穷积分 310

§6.2瑕积分 314

习题五 317

§1数项级数 323

第六章级数 323

§1.1数项级数的定义及收敛性 324

§1.2收敛级数的性质 328

§1.3正项级数 330

§1.4任意项级数 338

§1.5绝对收敛级数的性质 341

§2广义积分的收敛性 344

§2.1无穷积分和数项级数的关系 344

§2.2无穷积分的收敛性判别法 345

§2.3瑕积分收敛判别法 348

§2.4欧拉积分 351

§3.1收敛种种 355

§3函数项级数 355

§3.2一致收敛性的判定 358

§3.3一致收敛级数的性质，内闭一致收敛 362

§4幂级数 367

§4.1收敛半径 367

§4.2幂级数的运算及分析性质 371

§4.3函数的幂级数展开 376

§5富里叶级数 383

§5.1［—π,π］上的富里叶级数 383

§5.2正弦级数和余弦级数 391

§5.3任意区间上的富里叶级数 393

*§5.4富里叶级数的逐项积分与逐项微分 396

*§5.5富里叶级数的复数形式 398

习题六 400

第七章简单微分方程 407

§1基本概念 407

§2一阶微分方程的初等解法 410

§2.1可分离变量的方程与齐次方程 411

§2.2一阶线性方程与贝努里方程 417

§2.3小结 424

§3.1线性微分算子与函数的线性相关性 425

§3高阶线性微分方程解的结构 425

§3.2齐次线性方程通解的结构 428

§3.3非齐线性方程通解的结构 430

§3.4常数变易法 431

§4常系数线性方程 434

§4.1常系数二阶齐次线性方程 434

§4.2常系数二阶线性非齐次方程 436

§4.3常系数高阶线性方程解法简介 439

§4.4欧拉方程 442

§5高阶方程的降阶 444

习题七 448

上册部分习题简答 453